2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найдите пределы
Сообщение26.01.2011, 07:09 


19/01/11
718
Задачи из книг "Избранные задачи вещественного анализа".
Найдите пределы:
a) $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{2n}2^{-k}\cos\sqrt\frac{k}{n}$;
b) $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{2n}2^\frac{-nk}{n+k}$;
с) $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}(\frac{k}{n})^k$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найдите пределы
Сообщение26.01.2011, 09:36 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Первые 2 очевидны и равны 2. Третий так же решается в уме и равен $\frac{e}{e-1}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найдите пределы
Сообщение26.01.2011, 10:37 


19/01/11
718
Цитата:
Первые 2 очевидны и равны 2. Третий так же решается в уме и равен $\frac{e}{e-1}$.

:roll: правильно написали ответ , но решение как будеть
третью я решил так:
$(\frac{k}{n})^{k} =(1-\frac{n-k}{n})^{k} =e^{{k}{\ln(1-\frac{n-k}{n})}}$ = $e^{-k} (1+O(\frac{k^2}{n}))$
отсюда , подставим выражении в сумму и получаем:
$\sum\limits_{k=0}^{n} e^{-k}(1+O(\frac{k^2}{n}))$
Отсюда получаем ваш ответ если я гдето не ошибся $\frac{e}{e-1}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найдите пределы
Сообщение26.01.2011, 11:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
мысленно переписать сумму с другого конца; он главный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найдите пределы
Сообщение26.01.2011, 11:38 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
myra_panama в сообщении #404703 писал(а):
третью я решил так:
$(\frac{k}{n})^{k} =(1-\frac{n-k}{n})^{k} =e^{{k}{\ln(1-\frac{n-k}{n})}}$ = $e^{-k} (1+O(\frac{k^2}{n}))$

Это неверно. Надо с конца, как говорит ИСН.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найдите пределы
Сообщение26.01.2011, 13:33 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Руст в сообщении #404691 писал(а):
Первые 2 очевидны и равны 2.

myra_panama в сообщении #404703 писал(а):
правильно написали ответ

Не понял юмора. Первый-то два, но второй ведь -- очевидно бесконечен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найдите пределы
Сообщение26.01.2011, 14:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Вы, наверное, минуса не заметили. Там он не совсем "там".

 Профиль  
                  
 
 Re: Найдите пределы
Сообщение26.01.2011, 15:11 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
А, снимаю вопрос. (Нет, минус-то я заметил.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Найдите пределы
Сообщение26.01.2011, 16:49 


19/01/11
718
Цитата:
Это неверно. Надо с конца, как говорит ИСН


:roll: не знаю но................
c) Основной вклад дают последние слагаемые
$\sum\limits_{{n-n^{\frac13}}\le k\le n} (\frac{k}{n})^k$ = $\sum\limits_{0\le j \le \sqrt[3]{n}}} (1-\frac{j}{n})^{n-j}$ = $\sum\limits_{0\le j \le \sqrt[3]{n}}} e^{-j}(1+O(\frac{j^2}{n}))$= $\sum\limits_{j\ge0} e^{-j} +o(1) $

Cумма остальных слагаемых бесконечно мало , так как
$\max\limits_{1<k<{n-\sqrt[3]{n}}$$(\frac{k}{n})^{k}=\frac4{n^2}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group