Как найти предел?

[Xenia1996]

$\[ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum\limits^{n}_{k=1}\ln\left(\frac{k}{n}+\epsilon_{n}\right) \]$

[ShMaxG]

Никак. До тех пор, пока не ясно, кто такой $\epsilon_n$.

[Xenia1996]

ShMaxG в сообщении #404456 писал(а):

Никак. До тех пор, пока не ясно, кто такой $\epsilon_n$.

Ой, я думала, про эпсилон знают все

Пусть $ \{\epsilon_{n}\}^\infty_{n=1} $ - последовательность положительных вещественных чисел и $ \lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\epsilon_{n}= 0 $

[Хорхе]

(Оффтоп)

Не стыдно Вам, ShMaxG? Все знают, а Вы нет

Как по мне, оно и на эпсилон не сильно похоже.

На первый взгляд сильно зависит от поведения $\epsilon_n$.

[Xenia1996]

Хорхе в сообщении #404471 писал(а):

(Оффтоп)

Не стыдно Вам, ShMaxG? Все знают, а Вы нет

Как по мне, оно и на эпсилон не сильно похоже.

На первый взгляд сильно зависит от поведения $\epsilon_n$.

А на 2011-й взгляд?

[Хорхе]

И на 2001-й взгляд тоже. Если $\epsilon_n = o(1/\ln n )$, то на него можно вообще не обращать внимания, иначе может очень и очень плохо себя вести.

[Xenia1996]

Хорхе в сообщении #404481 писал(а):

И на 2001-й взгляд тоже. Если $\epsilon_n = o(1/\ln n )$, то на него можно вообще не обращать внимания, иначе может очень и очень плохо себя вести.

А римановы суммы не напоминает?

(И не 2001-й взгляд, а 2011-й )

[nnosipov]

Xenia1996 в сообщении #404451 писал(а):

$\[ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum\limits^{n}_{k=1}\ln\left(\frac{k}{n}+\epsilon_{n}\right) \]$

Кажется, всегда $-1$. То, что нижний предел больше либо равен $-1$, понятно. Далее фиксируем $\varepsilon>0$ и пусть $\varepsilon_n<\varepsilon$ при $n>N$. Тогда верхний предел меньше $\int_0^1 \ln{(x+\varepsilon)}dx=-1+o(1)$ при $\epsilon \to 0$. Где я ошибаюсь?

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #404492 писал(а):

Кажется, всегда $-1$. То, что нижний предел больше либо равен $-1$, понятно. Далее фиксируем $\varepsilon>0$ и пусть $\varepsilon_n<\varepsilon$ при $n>N$. Тогда верхний предел меньше $\int_0^1 \ln{(x+\varepsilon)}dx=-1+o(1)$ при $\epsilon \to 0$. Где я ошибаюсь?

Вроде, нигде.

(Оффтоп)

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=338474&sid=42497a6c2ad14b771c2ea0dcc5fa033b#p338474

[nnosipov]

Xenia1996 в сообщении #404494 писал(а):

nnosipov в сообщении #404492 писал(а):

Кажется, всегда $-1$. То, что нижний предел больше либо равен $-1$, понятно. Далее фиксируем $\varepsilon>0$ и пусть $\varepsilon_n<\varepsilon$ при $n>N$. Тогда верхний предел меньше $\int_0^1 \ln{(x+\varepsilon)}dx=-1+o(1)$ при $\epsilon \to 0$. Где я ошибаюсь?

Вроде, нигде.

(Оффтоп)

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=338474&sid=42497a6c2ad14b771c2ea0dcc5fa033b#p338474

Очень похоже на задачу на экзамене по матану. Попробую своим студентам предложить (на днях как раз пересдача ).

[caxap]

nnosipov в сообщении #404492 писал(а):

То, что нижний предел больше либо равен $-1$, понятно.

А если $\varepsilon$ стремится к $0$ снизу?

[Хорхе]

Ага, я даже понял, где меня проглючило: почему-то решил, что $n\epsilon_n/k$ маленькое (с чего бы это?)

[Andrey173]

nnosipov в сообщении #404497 писал(а):

Очень похоже на задачу на экзамене по матану. Попробую своим студентам предложить (на днях как раз пересдача ).

Если не сделают, скажите им, что его предложила девочка из 8 класса)

[Хорхе]

caxap в сообщении #404503 писал(а):

А если $\varepsilon$ стремится к $0$ слева?

Уверен, что имелись в виду все же положительные, иначе сумму можно как угодно маленькой сделать. Не говоря уже о (возможной не-) корректности.

[nnosipov]

Andrey173 в сообщении #404506 писал(а):

Если не сделают, скажите им, что его предложила девочка из 8 класса)

Современных студентов этим не проймёшь. Но впечатление всё-таки должно произвести.