Существуют ли иррациональные и действительные числа?

[Xaositect]

Андрей АK в сообщении #404418 писал(а):

Кто хочет этот тезис опровергнуть - приведите в пример такое число (которое нельзя было бы задать бесконечным рядом рациональных чисел).

Так все-таки, бесконечным рядом, или бесконечным рядом, заданным конечным алгоритмом?
Если второе, то http://en.wikipedia.org/wiki/Chaitin's_constant

[venco]

Андрей АK в сообщении #404418 писал(а):

Корень из двух число.
Но то что вы записали ($\sqrt 2$) - лишь запись в одной из систем отсчета - это только форма записи - т.е. алгоритм и ничего больше.
С другой стороны для записи того же числа я могу использовать бесконечные ряды рациональных чисел - складывать их сравнивать и т.д. - все что вы хотели бы с ними сделать.
Это будет другая форма записи того же числа.

Ну что - постепенно приближаемся к математике.
Пока правильно.

Андрей АK в сообщении #404418 писал(а):

Поэтому, когда говорят, что $\sqrt 2$ не является рациональным - это можно только перевести так, что для его записи придется применять ряды - только и всего.

Можно и так сказать, хотя это и не строго.

Андрей АK в сообщении #404418 писал(а):

Таким образом, для позиционирования ЛЮБОЙ ТОЧКИ на прямой достаточно множества рациональных чисел и рядов из из этих чисел, заданных каким либо алгоритмом.

Почти правильно.
Действительные числа можно определять сходящимися рядами рациональных. Но требования на наличие алгоритма нет.
Действительные числа представимые алгоритмами называются конструктивными. Их больше, чем рациональных, но меньше чем действительных.

Андрей АK в сообщении #404418 писал(а):

Тут конечно можно сказать, что поскольку количество членов этих рядов бесконечно, то мощность точек, задаваемых подобным образом - несчетно.

Ага.

Андрей АK в сообщении #404418 писал(а):

Но нет - каждый из этих рядов задается каким-то конечным алгоритмом!

Алгоритм по определению конечен.
И в определении действительных чисел алгоритмов нет.

Итак, можно, наконец, перевести дискуссию в конструктивное русло (pun intended).
То, о чём Вы хотели поговорить - конструктивные и не-конструктивные действительные числа. А точнее, имеют ли смысл не-конструктивные действительные числа?

Вот теперь, если Вы перестанете путать термины, дискуссия может быть интересной.

[Андрей АK]

Maslov в сообщении #404416 писал(а):

У ТС на эту тему совсем другое мнение:

Андрей АK в сообщении #265231 писал(а):

Алгоритм - это инструкция к действию, записанная в кодах некоторого языка.
"бесконечный алгоритм" - это такой алгоритм, для записи которого потребуется бесконечное количество символов.
Пример: любое иррациональное число.

Я тогда еще не понимал всей глубины противоречивости иррациональных чисел.
Долго думал над проблемой и пришел к выводу, что никаких иррациональных чисел (в общепринятом смысле) - нет.
А есть "алгоритмические числа". (ну можно сказать и конструктивные но лучше пока свой термин чтоб не придирались)
Но бесконечный алгоритм я все так же понимаю.
Единственно надо различать - бесконечный алгоритм имеющий ограниченный объем информации (т.е. который можно привести ,в каком то языке, к конечному алгоритму)
И бесконечный алгоритм с бесконечным набором информации - который нельзя ни к чему привести и никак записать.
Возможно рассуждать о последних - не имеет смысла и только для доказательств их бессмысленности (как и иррациональных чисел).

[Xaositect]

А, мы все-таки пришли к тому, что обсуждаем конструктивный анализ?
Конструктивный анализ - это штука интересная, но без сравнений и теоремы о промежуточном значении жить как-то грустно.
Пояснения для Андрей АK:
Дело в том, что если мы задаем числа алгоритмами, то не существует алгоритма, определяющего, равны ли два заданных числа. Формальное доказательство идет сведением Halting problem, а содержательно, раз у нас числа задаются последовательными приближениями, то в некоторых случаях эти приближения могут бесконечно близко подходить друг к другу, но любой конечный алгоритм этого "не может заметить".

[venco]

Андрей АK в сообщении #404427 писал(а):

Долго думал над проблемой и пришел к выводу, что никаких иррациональных чисел (в общепринятом смысле) - нет.

Если Вы будете продолжать использовать стандартные слова не по назначению (я имею в виду "иррациональные"), то в дискуссии с Вами не будет никакого смысла. Придётся пожаловаться модераторам, и Вашу тему, скорее всего, перенесут в Пургаторий.

[DiviSer]

я еще раз хочу спросить, Андрей АK, чем вам не угодили иррациональные действительные числа, где вы нашли в них противоречия, и для какой вообще цели вводите понятие "алгоритмические числа"???? тогда может вы вообще захотите убрать понятие непрерывность, которая является основой мат. анализа???

[Андрей АK]

venco в сообщении #404432 писал(а):

Если Вы будете продолжать использовать стандартные слова не по назначению (я имею в виду "иррациональные"), то в дискуссии с Вами не будет никакого смысла. Придётся пожаловаться модераторам, и Вашу тему, скорее всего, перенесут в Пургаторий.

Не знаю, конструктивный анализ - он слишком тяжелый и я в нем еще не разобрался.
Поэтому не могу в его терминах спорить.
Пока читал конструктивную логику (даже не представляю, какое отношение она имеет к конструктивному анализу) - мне она кажется слишком надуманной и бессмысленной.

Что касается применения термина "иррациональные числа" - то почему бы и нет?
Поскольку часть этих чисел - есть алгоритмически не задаваемые - а существование таких я отрицаю , то и ,следовательно, все вместе я также могу отрицать.
"Ложка дегтя портит бочку меда"
Хотя, тут вернее было бы сказать.
"Бочка дегтя портит ложку меда"
Поскольку ложка меда - это счетное число, а бочка дегтя - несчетное.

-- Вт янв 25, 2011 20:27:28 --

DiviSer в сообщении #404440 писал(а):

я еще раз хочу спросить, Андрей АK, чем вам не угодили иррациональные действительные числа, где вы нашли в них противоречия, и для какой вообще цели вводите понятие "алгоритмические числа"???? тогда может вы вообще захотите убрать понятие непрерывность, которая является основой мат. анализа???

Весь мат анализ всегда и везде использует исключительно рациональные числа.
Поэтому ни непрерывность ни еще что-то из его инструментов не пострадает, если из множества чисел исключить алгоритмически незадаваемые числа.
Только и всего, что это множество чисел из несчетного превратится в счетное.
Как это повлияет на матанализ?

[Maslov]

Андрей АK в сообщении #404418 писал(а):

С другой стороны для записи того же числа я могу использовать бесконечные ряды рациональных чисел - складывать их сравнивать и т.д. - все что вы хотели бы с ними сделать.
Это будет другая форма записи того же числа.

Ну вот и славненько.
Осталось выделить из таких бесконечных рядов рациональных чисел последовательности Коши, разбить их на классы эквивалентности и обозвать эти классы действительными числами :)

[Андрей АK]

Maslov в сообщении #404446 писал(а):

Андрей АK в сообщении #404418 писал(а):

С другой стороны для записи того же числа я могу использовать бесконечные ряды рациональных чисел - складывать их сравнивать и т.д. - все что вы хотели бы с ними сделать.
Это будет другая форма записи того же числа.

Ну вот и славненько.
Осталось выделить из таких бесконечных рядов рациональных чисел последовательности Коши, разбить их на классы эквивалентности и обозвать эти классы действительными числами :)

Да, и останется только выяснить - счетно или несчетно их количество.
Можно ли как-то доказать их несчетность, не используя диагональ Кантора?
Если нет, можно настаивать на счетности таких действительных чисел.

[Xaositect]

Множество конструктивных действительных чисел счетно, но биекция не может быть задана алгоритмом.

[DiviSer]

Андрей АK в сообщении #404441 писал(а):

Весь мат анализ всегда и везде использует исключительно рациональные числа.Поэтому ни непрерывность ни еще что-то из его инструментов не пострадает, если из множества чисел исключить алгоритмически незадаваемые числа.Только и всего, что это множество чисел из несчетного превратится в счетное.Как это повлияет на матанализ?

на первые части вопроса все равно не ответили... ну а насчет того что

Цитата:

Весь мат анализ всегда и везде использует исключительно рациональные числа.

как же тогда число е, пи, ряды, произвдения, понятие производной и интеграла, там по преженему нет иррациональных чисел?? а как быть с непрерывнвми функциями, функциями Дирихле и тд???
я могу привести несколько примеров которые напрямую используют непрерывность - принцип кавальери, доказательство различных теорем использущие инверсии, понятие топологической эквивалентности и тд.

[Xaositect]

DiviSer в сообщении #404472 писал(а):

я могу привести несколько примеров которые напрямую используют непрерывность - принцип кавальери, доказательство различных теорем использущие инверсии, понятие топологической эквивалентности и тд.

Так далеко ходить не надо. Уже теорема о промежуточном значении не доказывается в конструктивном анализе.

[Андрей АK]

DiviSer в сообщении #404472 писал(а):

как же тогда число е, пи, ряды, произвдения, понятие производной и интеграла, там по преженему нет иррациональных чисел?? а как быть с непрерывнвми функциями, функциями Дирихле и тд???
я могу привести несколько примеров которые напрямую используют непрерывность - принцип кавальери, доказательство различных теорем использущие инверсии, понятие топологической эквивалентности и тд.

Эти числа ,в общем виде, используются в виде значков - аналитически.
А когда дело доходит до практических вычислений, то вместо них используются их десятичные приближения.
Т.е. с виду - одно, на самом деле - рациональные числа.

[Maslov]

Андрей АK в сообщении #404457 писал(а):

Можно ли как-то доказать их несчетность, не используя диагональ Кантора?
Если нет, можно настаивать на счетности таких действительных чисел.

Настаивать можно на чём угодно, но в математике степень упёртости доказательством не является.
Настаиваете на счётности -- докажите.

Андрей АK в сообщении #404477 писал(а):

А когда дело доходит до практических вычислений, то вместо них используются их десятичные приближения.
Т.е. с виду - одно, на самом деле - рациональные числа.

Когда дело доходит до практических вычислений, то множество чисел оказывается конечным.
Сделаем вывод о конечности $\mathbb{N}$?

[Андрей АK]

Maslov в сообщении #404489 писал(а):

Андрей АK в сообщении #404457 писал(а):

Можно ли как-то доказать их несчетность, не используя диагональ Кантора?
Если нет, можно настаивать на счетности таких действительных чисел.

Настаивать можно на чём угодно, но в математике степень упёртости доказательством не является.
Настаиваете на счётности -- докажите.

Я уже приводил тут рассуждения о счетности множества конечных алгоритмов и ,как следствие - счетность всех "алгоритмических чисел".
Поскольку других чисел нет (если против - приведите пример такого числа) - то и множество всех чисел счетно.

Maslov в сообщении #404489 писал(а):

Андрей АK в сообщении #404477 писал(а):

А когда дело доходит до практических вычислений, то вместо них используются их десятичные приближения.
Т.е. с виду - одно, на самом деле - рациональные числа.

Когда дело доходит до практических вычислений, то множество чисел оказывается конечным.
Сделаем вывод о конечности $\mathbb{N}$?

Это уже разговор для другой темы.
"Существует ли бесконечность?"
Но я еще не имею четкого мнения по этому вопросу.