2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неравенство
Сообщение25.01.2011, 15:41 
Аватара пользователя


08/08/10
358
Сегодня было на региональной олимпиаде.
$\frac{x+1}{y+1}+\frac{y+1}{z+1}+\frac{z+1}{x+1}<=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\ + \frac{z}{x}$
Для положительных чисел.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.01.2011, 17:14 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Andrey173 в сообщении #404321 писал(а):
Сегодня было на региональной олимпиаде.
$\frac{x+1}{y+1}+\frac{y+1}{z+1}+\frac{z+1}{x+1}<=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\ + \frac{z}{x}$
Для положительных чисел.

Пусть $z=\min\{x,y,z\}$. Тогда
$\frac{x+1}{y+1}+\frac{y+1}{z+1}+\frac{z+1}{x+1}\leq\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\ + \frac{z}{x}\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}-\frac{y}{x}-1\geq\frac{x+1}{y+1}+\frac{y+1}{x+1}-2+\frac{y+1}{z+1}+\frac{z+1}{x+1}-\frac{y+1}{x+1}-1\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow\frac{(x-y)^2}{xy}+\frac{(z-x)(z-y)}{xz}\geq\frac{(x-y)^2}{(x+1)(y+1)}+\frac{(z-x)(z-y)}{(x+1)(z+1)}$, которое очевидно верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение25.01.2011, 17:18 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Разница есть
$\frac{y-x}{y(y+1)}+\frac{y-z}{z(z+1)}+\frac{z-x}{x(x+1)}$.
Сумма числителей равна нулю, а знаменатели положительных больше, чем у отрицательных. Поэтому указанная сумма отрицательна или равна нулю (при равенстве всех чисел).

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение25.01.2011, 18:06 
Аватара пользователя


08/08/10
358
Руст
Блин я как раз привел к такому виду и не знал что с ним дальше делать, обидно.
Завтра отыграюсь :twisted:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google [Bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group