Неравенство

[Andrey173]

Сегодня было на региональной олимпиаде.
$\frac{x+1}{y+1}+\frac{y+1}{z+1}+\frac{z+1}{x+1}<=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\ + \frac{z}{x}$
Для положительных чисел.

[arqady]

Andrey173 в сообщении #404321 писал(а):

Сегодня было на региональной олимпиаде.
$\frac{x+1}{y+1}+\frac{y+1}{z+1}+\frac{z+1}{x+1}<=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\ + \frac{z}{x}$
Для положительных чисел.

Пусть $z=\min\{x,y,z\}$. Тогда
$\frac{x+1}{y+1}+\frac{y+1}{z+1}+\frac{z+1}{x+1}\leq\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\ + \frac{z}{x}\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}-\frac{y}{x}-1\geq\frac{x+1}{y+1}+\frac{y+1}{x+1}-2+\frac{y+1}{z+1}+\frac{z+1}{x+1}-\frac{y+1}{x+1}-1\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow\frac{(x-y)^2}{xy}+\frac{(z-x)(z-y)}{xz}\geq\frac{(x-y)^2}{(x+1)(y+1)}+\frac{(z-x)(z-y)}{(x+1)(z+1)}$, которое очевидно верно.

[Руст]

Разница есть
$\frac{y-x}{y(y+1)}+\frac{y-z}{z(z+1)}+\frac{z-x}{x(x+1)}$.
Сумма числителей равна нулю, а знаменатели положительных больше, чем у отрицательных. Поэтому указанная сумма отрицательна или равна нулю (при равенстве всех чисел).

[Andrey173]

Руст
Блин я как раз привел к такому виду и не знал что с ним дальше делать, обидно.
Завтра отыграюсь