Разрешимость гр. невыр. нижних треуг. матриц (теор. групп)

[Alfucio]

Здравствуйте!

Читаю доказательство разрешимости группы невырожденных нижних треугольных матриц с коэффициентами из поля $K$.

Доказательство сводится к тому, что любую матрицу можно представить как произведение трансвекций ($t$) и диагональных матриц ($d$) определенного свойства.

Затем рассматриваются четыре вида коммутатора: $[t, d]$, $[t, t]$, $[d, t]$, $[d, d]$. После рассмотрения становится понятно, что на определенном шаге все сводится к единичной матрице.

Однако я не могу сообразить, почему мы можем рассматривать только четыре вышеперечисленных коммутатора, а не должны рассматривать $[t*d, t]$, например? Есть подозрение, что ответ очевиден (почему можем или почему не можем), но не могу сообразить :). Заранее спасибо!

[Xaositect]

В вопрос сильно не вчитывался, тождество $[ab,c] = b^{-1}[a,c]b[b,c]$ Вам не поможет?

[Alfucio]

Пытался использовать эти и другие соотношения коммутаторов, но не удалось найти ответ.

Попытаюсь сформулировать вопрос короче: группа порождается элементами двух видов $t$ и $d$ (каждый вид — уже бесконечное множество элементов). Чтобы доказать, что группа разрешима, достаточно ли доказать, что четыре коммутатора $[t, d]$, $[t, t]$, $[d, t]$, $[d, d]$ дадут разрешимую группу? Не могу понять, почему этого достаточно (просто именно так доказана теорема)...

[Alfucio]

Сейчас проверил еще раз, думал, что, возможно, ошибка в теореме. Она утверждает, что группа невырожденных нижних треугольных матриц разрешима, причем, например, для матриц размерности 10 на 10 уже 5 производная равна единичной матрице, то есть оценка лучше, чем при «прямой» проверке, где разрешимость была бы точно на 11 шаге (как, например, в 3 части «Введения в алгебру» у Кострикина).

И доказательство производится так, как я описывал в первом сообщении.

Но не удается понять, почему достаточно проверить четыре вида коммутатора. Число 5 для матриц 10 на 10 основано на выкладках доказательства, степень разрешимости связана со степенями двойки. Но это детали доказательство, непонятная вещь — почему из исследования коммутаторов «элементарных» элементов получается доказательство разрешимости всей группы, где эти элементарные могут друг с другом перемножаться.

Если это может помочь, я бы мог разместить отрывки из доказательства.

[Alfucio]

На самом деле все оказалось очень просто, как и предполагал. Несколько дней узнал полный ответ.

Если вместе применить два тождества (первое из которых и предлагал использовать Xaositect):
1) $\left[ {xy,z} \right] = {\left[ {x,z} \right]^y} \cdot \left[ {y,z} \right]$ и
2) ${x^y} = x\left[ {x,y} \right]$,
то получается, что
$\left[ {xy,z} \right] = \left[ {x,z} \right]\underbrace {\left[ {\left[ {x,z} \right],y} \right]}_{\left[ {h,y} \right]}\left[ {y,z} \right]$. Практически аналогично получается, если использовать соответствующее тождество, для $\left[ {x,yz} \right]$. Причем, как доказывается в теореме, любой из этих коммутаторов будет трансвекцией (или единичной матрицей, но это также трансвекция).

То есть можно $[{t_1} \cdot ... \cdot {t_n} \cdot {d_1} \cdot ... \cdot {d_m},{t_{n + 1}} \cdot ... \cdot {t_r} \cdot {d_{m + 1}} \cdot ... \cdot {d_k}]$ представить как $[...,...] \cdot ... \cdot [...,...]$, где $[...,...]$ — это коммутатор одного из четырех видов: $\[\left[ {{t_1},{t_2}} \right],\left[ {t,d} \right],\left[ {d,t} \right],\left[ {{d_1},{d_2}} \right]\]$.

В этом и заключается основной «фокус» понимания. Получается, что коммутатором от перемножения любых двух указанных матриц будет являться унитреугольная матрица. Унитреугольные как друг с другом не перемножать, все равно будут унитреугольные, значит $G'$ является уже группой невырожденных нижних унитреугольных матриц.

Xaositect, спасибо, Вы были правы, что нужно было использовать это тождество.