На самом деле все оказалось очень просто, как и предполагал. Несколько дней узнал полный ответ.
Если вместе применить два тождества (первое из которых и предлагал использовать Xaositect):
1)
![$\left[ {xy,z} \right] = {\left[ {x,z} \right]^y} \cdot \left[ {y,z} \right]$ $\left[ {xy,z} \right] = {\left[ {x,z} \right]^y} \cdot \left[ {y,z} \right]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/5/39522dd89fa567f65c403fea16acaa0282.png)
и
2)
![${x^y} = x\left[ {x,y} \right]$ ${x^y} = x\left[ {x,y} \right]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/a/d/5ad38937bb2ebc210108b93c9c2a2c4d82.png)
,
то получается, что
![$\left[ {xy,z} \right] = \left[ {x,z} \right]\underbrace {\left[ {\left[ {x,z} \right],y} \right]}_{\left[ {h,y} \right]}\left[ {y,z} \right]$ $\left[ {xy,z} \right] = \left[ {x,z} \right]\underbrace {\left[ {\left[ {x,z} \right],y} \right]}_{\left[ {h,y} \right]}\left[ {y,z} \right]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/d/b7df5ab44230506a0b7c1dc46c7ec2de82.png)
. Практически аналогично получается, если использовать соответствующее тождество, для
![$\left[ {x,yz} \right]$ $\left[ {x,yz} \right]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/c/adce5125b4699c1f7ff4b407720b408b82.png)
. Причем, как доказывается в теореме, любой из этих коммутаторов будет трансвекцией (или единичной матрицей, но это также трансвекция).
То есть можно
![$[{t_1} \cdot ... \cdot {t_n} \cdot {d_1} \cdot ... \cdot {d_m},{t_{n + 1}} \cdot ... \cdot {t_r} \cdot {d_{m + 1}} \cdot ... \cdot {d_k}]$ $[{t_1} \cdot ... \cdot {t_n} \cdot {d_1} \cdot ... \cdot {d_m},{t_{n + 1}} \cdot ... \cdot {t_r} \cdot {d_{m + 1}} \cdot ... \cdot {d_k}]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/8/c/c8cb594e01c474cff82c181a2e24476482.png)
представить как
![$[...,...] \cdot ... \cdot [...,...]$ $[...,...] \cdot ... \cdot [...,...]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/5/8/b5816b3684ac3fa48150f27063df9a9682.png)
, где
![$[...,...]$ $[...,...]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/a/e/eaea887736007d04ca38f0f2d46b346782.png)
— это коммутатор одного из четырех видов:
![$\[\left[ {{t_1},{t_2}} \right],\left[ {t,d} \right],\left[ {d,t} \right],\left[ {{d_1},{d_2}} \right]\]$ $\[\left[ {{t_1},{t_2}} \right],\left[ {t,d} \right],\left[ {d,t} \right],\left[ {{d_1},{d_2}} \right]\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/c/6/1c6dc71acf9c2b83e029b01fee2e2fd282.png)
.
В этом и заключается основной «фокус» понимания. Получается, что коммутатором от перемножения любых двух указанных матриц будет являться унитреугольная матрица. Унитреугольные как друг с другом не перемножать, все равно будут унитреугольные, значит

является уже группой невырожденных нижних унитреугольных матриц.
Xaositect, спасибо, Вы были правы, что нужно было использовать это тождество.