Разложение многочлена на неприводимые множители над полем

[flame19]

подскажите пожалуйста как разложить многочлен $x^6+2x^i+1, i=1,2,3,4,5$ над полем $F_5$.
т.е. здесь будет всего 5 многочленов...
я пробовала раскладывать при $i=1.$ Т.е. получился многочлен $x^6+2x+1$. $f(4)=0$, значит 4 - корень многочлена. но при делении данного многочлена на $x-4$ получается остаток...

[Joker_vD]

Не знаю, у меня разделилось: $x^5+4x^4+x^3+4x^2+x+1$.

[Sonic86]

Вы все правильно начали. Проще считать $x-4=x+1$ в $\mathbb{F}_5$. Вот только перебор корней в общем случае может не помочь, поскольку в $\mathbb{F}_5[x]$ есть и неприводимые многочлены. В этом случае можно искать перебором все неприводимые многочлены степени $\leq \frac{1}{2}\text{deg}f(x)$ и делить $f(x)$ на них... М.б. можно проще...

З.Ы. Книжка Лидл Нидеррайтер Конечные поля Вам в помощь...

[Joker_vD]

Кстати да, Sonic86 правильно советует воспользоваться этой книгой: там в конце есть таблица неприводимых многочленов. И целая глава посвящена разложению многочленов на множители.

[flame19]

спасибо большое!) книга есть, посмотрю обязательно...
и на $x+1$ разделилось без остатка, а на $x-4$ проверю ещё раз))

[VAL]

flame19 в сообщении #403854 писал(а):

спасибо большое!) книга есть, посмотрю обязательно...
и на $x+1$ разделилось без остатка, а на $x-4$ проверю ещё раз))

А зачем? Это ведь не другой многочлен, а другая форма представления того же многочлена.

PS: Немого саморекламы. В рекомендованных мной лекциях интересующие Вас вопросы тоже подробно рассмотрены