Геометрия

[Хорхе]

Ales в сообщении #404051 писал(а):

Проецируем фигуру на гиперболу из

А, ну так все равно надо считать, неинтересно. И ненамного меньше подсчетов, чем если комплексными числами. Хочется, чтобы считать не надо было.

[Sasha2]

Эта задача, по моему, один в один есть теорема Паскаля, излагаемая в любом курсе аналитической геометрии.

[Хорхе]

Первый раз слышу - значит, не в любом.

(Возможно, и слышал раньше, но никак не в курсе аналитической геометрии.)

[Sasha2]

Она приводится, конечно, в серьезных курсах. Например, она есть в Александрове, есть она также и в Постникове. Также в двухтомнике Делоне Райкова. Разумеется такие курсы расчитаны исключительно на математиков.

[Ales]

Хорхе в сообщении #404071 писал(а):

Ales в сообщении #404051 писал(а):

Проецируем фигуру на гиперболу из

А, ну так все равно надо считать, неинтересно. И ненамного меньше подсчетов, чем если комплексными числами. Хочется, чтобы считать не надо было.

Проецируем фигуру на гиперболу из точки $O$, вершины конуса,
на плоскость параллельную плоскости $O,C,F$.
Тогда $C,F$ уедут на бесконечность, а прямые, проходящие через эти точки, будут параллельны ассимптотам гиперболы.
Гиперболу линейным преобразование приводим к виду $xy=2 $, точки $A=(1,2), D=(2,1)$.
Точки $B=(\frac 2 b,b), E=(a,\frac 2 a)$.
Точки пересечения: $(x,y), (2,2), (a,b)$.
Где $(x,y)$ удовлетворяет системе:
$\frac {x-1} {y-2} = \frac {a-1} {\frac 2 a-2}=- \frac a 2$
$\frac {y-1} {x-2} = \frac {b-1} {\frac 2 b-2}=- \frac b 2 $.
Или:
(1) $2x+ay=2+2a$
(2) $2y+bx=2+2b$.
Пишем условие нахождения точек на одной прямой:
$\frac {x-2} {y-2} = \frac {a-2} {b-2}$
или
(3) $bx-2x-2b=ay-2y-2a$.
Уравнение (3) - это разность уравнений (1) и (2). Значит $(x,y)$ лежит где надо.

А сколько подсчетов с комплексными числами?

[Ales]

Поправка: всюду вместо цифры "2" ставить некоторое число $c$.
Не всякую гиперболу можно привести простым способом к виду $c=2$.

[Bulinator]

Sasha2 в сообщении #404078 писал(а):

один в один есть теорема Паскаля,

Она самая!!

[Dimoniada]

Теорему Паскаля можно достаточно просто доказать, используя следующую лемму: "Пусть на дуге $AB$ некоторой окружности (можно коники) лежит точка $M$, на дополняющей (до полной окр.) дуге - точки $K$ и $L$. Прямые $KM$ и $ML$ делят хорду $AB$ на три отрезка, длины которых $a$, $b$ и $c$ соответственно (см. рис.) Тогда отношение $\frac {ac} b$ не зависит от выбора точки $M$ на дуге $AB$."

[Max96]

Это несложно доказывается даже через подобие, правда придется применить направленные углы