Несложный интегральчик

[myra_panama]

$\int(1+x-\frac1x)*\exp(x+\frac1x)dx$
Решите пожалуйста у меня получилось кода я изменил$x+\frac1x=t$ но я запуталься

[caxap]

Можно угадать (с последующей проверкой). Интегралы вида $\int P(x)e^{ax}\,dx$ путём интегрирования по частям приводятся к $Q(x)e^{ax}$, где $P,Q$ -- многочлены. Тут другой случай, но почему бы не попытаться предположить, что и здесь $\exp \left(x+\frac 1x\right)$ останется в ответе: $\exp' \left(x+\frac 1x\right)=\left(1-\frac 1{x^2}\right)\exp \left(x+\frac 1x\right)$ -- а это почти подынтегральное выражение.

[Ales]

$x \cdot e^{(x+\frac1x)}$

[kavahox]

caxap в сообщении #403719 писал(а):

Можно угадать (с последующей проверкой). Интегралы вида $\int P(x)e^{ax}\,dx$ путём интегрирования по частям приводятся к $Q(x)e^{ax}$, где $P,Q$ -- многочлены. Тут другой случай, но почему бы не попытаться предположить, что и здесь $\exp \left(x+\frac 1x\right)$ останется в ответе: $\exp' \left(x+\frac 1x\right)=\left(1-\frac 1{x^2}\right)\exp \left(x+\frac 1x\right)$ -- а это почти подынтегральное выражение.

а ведь верно, ищем интеграл в виде $(a x+b)e^{x+\frac{1}{x}}$. Считаем производную, приравниваем подинтегральному выражению. Получается $a=1$, $b=0$. Ответ:

$\int(1+x-\frac1x)\exp(x+\frac{1}{x})dx = x\exp(x+\frac1x)$

[myra_panama]

ну, вам спасибо, я не заметил что такая, совсем нетрудная задачка

[RIP]

(Оффтоп)

kavahox в сообщении #403772 писал(а):

$\int(1+x-\frac1x)\exp(x+\frac{1}{x})dx = x\exp(x+\frac1x)$

Неправильно: $+C$ потеряно.