Мера обусловленности матрицы

[mikemike]

Здравствуйте, мне нужно найти меру обусловленности квадратной симметричной матрицы степенным методом с заданной точностью, подскажите литературу в которой можно об этом почитать, спасибо

[ol_mer]

В любой книге по вычислительным методам линейной алгебры, параграфы а ля "степенной метод вычисления собственных значений"
Например,
Крылов, Бобков, Монастырский "Вычислительные методы высшей математики"
Воеводин В.В. "Вычислительнные основы линейной алгебры"
Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. "Вычислительные методы линейной алгебры"

[mikemike]

тогда еще вопрос,для нахождения максимального собственного значения мне нужно взять какой нибудь вектор, который не будет ортогонален собственному вектору,но как мне выбрать такой вектор?

[ewert]

Перепробуйте просто какой-нибудь базис.

[mikemike]

а как мне узнать что данный вектор ортогонален или нет собственному вектору?просто мне нужно это реализовать программно,а находить собственные вектора не нужно

[ewert]

А зачем Вам это знать?...Как минимум один из базисных векторов уж точно не будет ортогональным и, соответственно, даст наибольшее собственное число. (Кстати, не само с.ч., а наибольший модуль собственных чисел.)

[Xavu Bunepe]

mikemike в сообщении #403789 писал(а):

А как мне узнать что данный вектор ортогонален или нет собственному вектору?

Вроде бы для определения ортогональности векторов служит нулевое значение их скалярного произведения, поэтому можно попробовать программно минимизировать указанную сумму перемноженных компонент по абсолютному значению, что в пределе даст ноль, и соответственно ортогональность векторов

[ewert]

Не нужно ничего минимизировать -- всё равно в наиболее неудачном случае придётся перебирать $n$ начальных приближений. Просто надо предельные значения для каждого из $n$ линейно независимых начальных векторов и выбрать из результатов наибольший.

[mikemike]

просто у меня в методе есть формула но вот я что то не могу ее понять
$\vec{x^k}=\frac{A\vec{x^{k-1}}}{||\vec{x^{k-1}}||}$
и признак окончания работы когда
$||\vec{x^k}-sign(x_i^k x_i^{k-1})\vec{x^{k-1}}||<\epsilon$
что такое $x_i^k$ и $x_i^{k-1}$??

[ewert]

mikemike в сообщении #403872 писал(а):

и признак окончания работы когда
$||\vec{x^k}-sign(x_i^k x_i^{k-1})\vec{x^{k-1}}||<\epsilon$
что такое $x_i^k$ и $x_i^{k-1}$??

$i$ -- это индекс максимальной по модулю компоненты последнего приближения. Только, во-первых, это не соответствует правилу

mikemike в сообщении #403872 писал(а):

$\vec{x^k}=\frac{A\vec{x^{k-1}}}{||\vec{x^{k-1}}||}$

-- старое приближение нормировано на единицу, а новое нет. И во-вторых, с эпсилоном надо бы поаккуратнее: его надо ещё умножить на $(1-q)$, где $q$ -- знаменатель геометрической прогрессии, со скоростью которой сходится метод, а он в типичных ситуациях обычно близок к единице.

[mikemike]

а почему новое приближение не нормировано?

[mikemike]

еще вопрос, как мне найти минимальное собственное значение?

[ewert]

mikemike в сообщении #403971 писал(а):

еще вопрос, как мне найти минимальное собственное значение?

Естественно, обратными итерациями. Т.е. последовательными умножениями на обратную матрицу -- или, что то же самое с абстрактной точки зрения, последовательными решениями соотв. систем уравнений (а что выгоднее выйдет -- зависит от ситуации).

-- Пн янв 24, 2011 23:15:58 --

mikemike в сообщении #403933 писал(а):

а почему новое приближение не нормировано?

Потому что оно (в приведённом Вами варианте алгоритма) умножается на старое примерно на собственное число, которое вовсе не есть единица.

[Krull]

Нет, минимальное ищется и без обращения матрицы, оно слишком дорого. Мы берём какую-нибудь хорошую верхнюю оценку спектрального радиуса (оно же модуль максимального) , например, бесконечную норму $||A||_\infty$ матрицы $A$. Затем берём матрицу $||A||_\infty E - A$ и крутим для неё степенной метод. После чего получаем наибольшее собственное число $\lambda_{max}(||A||_\infty E - A)$ для этой матрицы. Откуда имеем $\lambda_{max}(||A||_\infty E - A) = ||A||_\infty - \lambda_{min}(A)$. Вот и вся магия

[ewert]

Krull в сообщении #405024 писал(а):

Нет, минимальное ищется и без обращения матрицы, оно слишком дорого.

Без того или иного обращения -- никак.