Мера обусловленности матрицы

[Krull]

Ну если считать вычисление, по сути, матрицы $-A$, обращением, то и вправду никак. Но обычно обратной считается матрица $A^{-1}$

[ewert]

Krull в сообщении #405024 писал(а):

Откуда имеем $\lambda_{max}(||A||_\infty E - A) = ||A||_\infty - \lambda_{min}(A)$.

Всё это здорово, но не имеет отношения к делу. Для числа обусловленности нужны не алгебраически максимальное/минимальное собственные числа, а максимальное/минимальное по модулю.

Правда, матрицу можно предварительно возвести в квадрат. Это можно, и даже по ряду причин нужно сделать. Тогда Ваш фокус пройдёт, но тут есть минимум два нюанса. Во-первых, равномерная норма даёт завышенную оценку (максимально возможный коэффициент завышения $\sqrt{n}$), поэтому лучше вместо неё взять максимальное собственное число, раз уж оно всё равно уже найдено. Во-вторых (это в среднем существеннее), скорость сходимости прямых итераций будет, скорее всего, мнократно меньше скорости сходимости обратных. И, скажем, для ленточных матриц обратные итерации -- безусловно выгоднее.

[Krull]

Да, прошу прощения, не заметил, что матрица не обязательно положительно определена. Для положительно определённых (и даже для положительно полуопределённых) фокус проходит.

Оценку, кстати, и вправду лучше такую брать... или единичку прибавлять, для верности :)

[mikemike]

спасибо, еще вопрос
я написал программу для решения слау методом квадратного корня, и она даже вроде работает и решает довольно точно системы больше чем 3000х3000
написал также для решения СЛАУ LU-разложением но тут возникли проблемы, он у меня получился неустойчивым, т.е. на матрице 100х100 он выдает ошибку, там откуда то возникают бесконечности и нули на диагонали матрицы U,а матрицы там 50 на 50 решает но не точно
так я хотел узнать как LU-разложение соотносится по устойчивости с методом квадратного корня

[ewert]

Метод квадратного корня (Холецкого) -- это, собственно, и есть $LU$-разложение (без перестановок), только проведённое конкретно для эрмитовых положительно определённых матриц и алгоритмически оптимизированное под именно этот случай. При этом нулей на диагонали появляться, естественно, не может (просто из-за положительной определённости). Если же строить $LU$-разложение в произвольной ситуации и для произвольной матрицы, то эти нули, разумеется, вполне возможны, и тогда алгоритм приходится дополнять перестановками.

[mikemike]

ну только в методе Холецкого еще матрица должна быть симметричной
а под перестановками вы имеете ввиду LUP разложение?

[ewert]

mikemike в сообщении #405356 писал(а):

ну только в методе Холецкого еще матрица должна быть симметричной

А я что сказал?... Вообще говоря -- эрмитовой, а в частности (для вещественных матриц) -- симметричной.

mikemike в сообщении #405356 писал(а):

а под перестановками вы имеете ввиду LUP разложение?

Ну да. Или, общЕе, $QLUP$.

[mikemike]

я вот на википедии нашел алгоритм разложения и там написано что $C=L+U-E$
т.е. L- нижняя половины матрицы С без главной диагонали,а U-верхняя часть матрицы С, только на главной диагонали вычитаются 1?

[ol_mer]

по-моему, вы неверно поняли то, что там написано. на выходе у псевдокода матрица C = L + U - E, а LUP разложение производится для матрицы А