Геометрия

[Bulinator]

На окружности заданы 6 точек $A,B,C,D,E$ и $F$(рис.)

Доказать, что точки пересечения $AE$ и $BD$, $AF$ и $DC$ и $BF$ и $EC$ находятся на одной прямой.

[Хорхе]

(Загрузилась)

[MathKvant]

Ну не знаю, можно ли так: воспользуемся фактом, что угол с вершиной внутри окружности измеряется полусуммой двух дуг этой окружности,одна из которых заключена между его сторонами,а другая-между их продолжениями.Доказываем, что треугольник Е и две крайние точки на нужной нам прямой является треугольником, ну и всё вроде, рисунок позже добавлю

[Хорхе]

(Оффтоп)

MathKvant в сообщении #403775 писал(а):

Доказываем, что треугольник Е и две крайние точки на нужной нам прямой является треугольником, ну и всё вроде, рисунок позже добавлю

Поля малы...

[Ales]

Это проективная геометрия.

[Padawan]

Вместо окружности можно эллипс взять

[Ales]

Гиперболу, две точки - на бесконечность.

[Хорхе]

А также всякие ...болы, они же коники. Но у меня только пересчетом получается, а как нормально доказать?

[Sonic86]

Это называется теорема (тут было вранье). Окружность можно заменить на любую кривую второго порядка.
(теоремы проективной геометрии такие - фиг докажешь просто так... Кривые второго порядка у Певзнера (проективная геометрия для чайников) определялись как множество точек, удовлетворяющие уравнению $XAX^{T}=0$, либо через теорему Паскаля давался способ их построения (но это уже хуже...))

[Bulinator]

Sonic86 в сообщении #403834 писал(а):

фиг докажешь просто так

Эта задача с школьной олимпиады физмат школы. И доказывается она в рамках школьной геометрии.

[Sonic86]

Я имел ввиду для коник в общем случае. Для окружности м.б. как-то проще и можно... Я просто вспомнил и сказал сразу ...

(Оффтоп)

ИМХО Лучше книжку прочесть по проективной геометрии, чем решить эту задачу на олимпиаде методами геометрии Евклида. После прочтения остаются незабываемые впечатления. Она не сложнее анализа

Upd.: я там вверху наврал

[Bulinator]

(Оффтоп)

Sonic86 в сообщении #403838 писал(а):

ИМХО Лучше книжку прочесть по проективной геометрии, чем решить эту задачу на олимпиаде методами геометрии Евклида. После прочтения остаются незабываемые впечатления. Она не сложнее анализа

Суть в том, чтобы доказать именно в рамках школьной геометрии. А то можно было и уравнения прямых написать и доказать методами аналитической геометрии :))))

[Ales]

Bulinator в сообщении #403837 писал(а):

Sonic86 в сообщении #403834 писал(а):

фиг докажешь просто так

Эта задача с школьной олимпиады физмат школы. И доказывается она в рамках школьной геометрии.

Конечно, ее можно доказать и школьными методами.
Но проще и лучше прочитать немного про афинную и проективную геометрию.
Тогда доказательство займет несколько строчек.

-- Пн янв 24, 2011 22:56:10 --

Рассматриваем проекцию картинки в самом простом виде и пишем три линейные уравнения. Они имеют общее решение.

[Хорхе]

Ales в сообщении #404032 писал(а):

Рассматриваем проекцию картинки в самом простом виде и пишем три линейные уравнения. Они имеют общее решение.

Куда что проецируем, не догоняю.

[Ales]

Хорхе в сообщении #404049 писал(а):

Ales в сообщении #404032 писал(а):

Рассматриваем проекцию картинки в самом простом виде и пишем три линейные уравнения. Они имеют общее решение.

Куда что проецируем, не догоняю.

Проецируем фигуру на гиперболу из точки $O$, вершины конуса,
на плоскость параллельную плоскости $O,C,F$.
Тогда $C,F$ уедут на бесконечность, а прямые, проходящие через эти точки, будут параллельны ассимптотам гиперболы.
Гиперболу линейным преобразование приводим к виду $xy=2 $, точки $A=(1,2), D=(2,1)$.