Квадрат в плоскости, проходящей через начало координат

[nandemotaberareru]

Даны две противоположные вершины квадрата, лежащего в плоскости, проходящей через начало координат. Составить уравнение диагоналей и сторон квадрата. А(1,0,7). С(3,4,1)

Нашла уравнение плоскости, в которой лежит квадрат: -7х+5у+z=0
Нашла точку пересечения диагоналей Е(2,2,4).
Каким образом найти координаты точки В?

[Yu_K]

Попробуйте найти вектор EB. Что про него известно?

[nandemotaberareru]

$ EB =(x-2,y-2,z-4)\\ EB\perp AE\\ AE = (1,2,-3). \left | AB \right |=\left | BC \right |\\ AB=(x-1,y,z-7)\\ BC=(3-x,4-y,z-1) $
Тогда:
$ (x-1)^2+y^2+(z-7)^2=(3-x)^2+(4-y)^2+(z-1)^2 $
В результате преобразований получим:
$ x+2y-3z+6=0 $
2 уравнения,3 неизвестных.. не знаю, как дальше продвинуться...

[ИСН]

Это всё, что известно про вектор EB? Совсем всё? Длина и что перпендикулярен, и больше ничего? Или, может, там есть ещё что-то про пл......

[nandemotaberareru]

уравнение плоскости
$ \\ A(1,0,7)\\ C(3,4,1)\\ D=0 $
(плоскость проходит через начало координат)
$ \left\{\begin{matrix} A&+&7C&=0 \\ 3A&+&4B&+&C&=0 \end{matrix}\right.\\ -7x+5y+z=0 $

[ewert]

Ну и как расположен искомый вектор по отношению к этой плоскости -- и какое требование на него (в дополнение к уже написанным) отсюда вытекает?...

И кстати: о длине вектора пока что лучше временно забыть. Главное -- определить его направление, а уж длину-то уточнить потом не проблема.

[TOTAL]

nandemotaberareru в сообщении #403636 писал(а):

Даны две противоположные вершины квадрата, лежащего в плоскости, проходящей через начало координат. Составить уравнение диагоналей и сторон квадрата. А(1,0,7). С(3,4,1)

Координаты третьей вершины равны $xA+yC.$ Эта вершина находится на одинаковом и известном расстоянии от вершин $A$ и $C,$ т.е. имеются два уравнения для двух неизвестных $x$ и $y,$ которые легко решите.

[ИСН]

TOTAL, так нечестно - чтобы это увидеть, необходимо более высокоуровневое понимание проблемы.
nandemotaberareru, что плоскость проходит через начало координат - это я понял; что Вы нашли её уравнение - хорошо; а про вектор-то что известно? Вектор, который EB. Да. Он что?

[nandemotaberareru]

получается, он перпендикулярен нормальному вектору плоскости.

[ИСН]

Ну!
Вот и третье уравнение.

[nandemotaberareru]

Спасибо!
Разобралась)