Решение школьных задач и примеров

[Joker_vD]

ximikat в сообщении #403535 писал(а):

Т.е. перемножая два больших числа нельзя получить меньшее, чем каждое из множителей

Это кто вам такую глупость сказал? Или сами выдумали? Можно перемножая два числа получить число, меньшее их обоих: $(-2)\cdot4 = -8$, причем $-8 < -2$, $-8 < 4$.

[ximikat]

Ребята, arseniiv, Joker_vD спасибо за ответы!
Вычисления я эти делал, но над тем, что перемножив два больших числа можно получить меньшее, задумался впервые. Значит, оказывается, можно.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

А еще вот есть в математике такие объекты, которые можно перемножать, но которые не бывают "больше" или "меньше". Или у которых отношение "больше"/"меньше" определяют по-разному, как когда удобнее. Короче, ужас.

[arseniiv]

Не пугайте человека. Всему своё время (т. е. можно попугать потом, когда это будет эффективнее ).

[ewert]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #403559 писал(а):

Не пугайте человека.

Боюсь, что это невозможно. Человека, не знающего радиан, и уж тем более знающего отношение "больше по отношению" -- боюсь, что ничем не испугаешь.

[ximikat]

Вот пример 781 из того же учебника.
"Найдите наибольшее значение выражения"
г) $sin a + 3sin ^2 a + 3cos^2 a$
я упростил выражение и у меня получилось $sina+3$
но в том-то и дело - я не пойму, что от меня хотят дальше.
ещё у меня был вариант ответа $sin=-3$. Т.е. вот это $-3$ - наибольшее значение выражение думал я.
Но оказывается я был неправ. Ответ другой: $4\geq sina+3 \geq 2$
Вот это я не пойму - к чему такой ответ - это понятно, что 4 больше 3, а тройка больше двойки. Тогда почему, например, именно 4, а не 3.5 или 3.

из того же упражнения, другой пример
в) $cos^2 a * tg ^2 a + 5cos^2 a -1$
у меня получилось $4 cos^2$
но ответ в книге на этот раз другой - в данном примере ответ не 5, а тоже 4 (т.е. ни так, как в примере г)):
$4\geq 4sina^2 \geq 0$ и ещё и вместо получившегося $4 cos^2$ синус. Беда!
Вот так вот! И ничего я не пойму - почему это в похожих примерах ответы столь разные??? И не понятно, если мне попадётся такой вопрос где-то на экзамене - смогу ли я определить, что мой ответ не полон или "останусь с носом"?
Прошу Вашей помощи

[Joker_vD]

ximikat в сообщении #403581 писал(а):

я не пойму, что от меня хотят дальше.

От вас хотят найти наибольшее значение этого выражения. Может ли это выражение равнятся нулю? Единице? Двум? Трем? Десяти? Минус трем?

ximikat в сообщении #403581 писал(а):

у меня получилось $4cos^2$

Четыре косинуса в квадрате чего?

[MrDindows]

ximikat в сообщении #403581 писал(а):

Вот пример 781 из того же учебника.
"Найдите наибольшее значение выражения"
г) $sin a + 3sin ^2 a + 3cos^2 a$
я упростил выражение и у меня получилось $sina+3$
но в том-то и дело - я не пойму, что от меня хотят дальше.
ещё у меня был вариант ответа $sin=-3$. Т.е. вот это $-3$ - наибольшее значение выражение думал я.
Но оказывается я был неправ. Ответ другой: $4\geq sina+3 \geq 2$
Вот это я не пойму - к чему такой ответ - это понятно, что 4 больше 3, а тройка больше двойки. Тогда почему, например, именно 4, а не 3.5 или 3.

Представьте такую ситуацию. Вам известно, что в одном кармане у вас лежит 300 тугриков, а в другом от 30 до 50. Вопрос: какое наибольшее и найменьшее число тугриков у вас может быть в сумме в двух карманах? Думаю вам не составит труда сказать ответы: 350 и 330.
В вашей задаче требуется тоже самое)
$sina+3$
Типа в одном кармане у вас 3, а в другом sina=)

[ximikat]

Joker_vD в сообщении #403594 писал(а):

ximikat в сообщении #403581 писал(а):

я не пойму, что от меня хотят дальше.

От вас хотят найти наибольшее значение этого выражения. Может ли это выражение равнятся нулю? Единице? Двум? Трем? Десяти? Минус трем?

В том то и дело, я не понимаю, что мне с чем сравнивать. И сейчас мне кажется, что все эти выражения приведённые вами подходят! А более всего подходит 3.

Цитата:

Четыре косинуса в квадрате чего?

Видимо радианов.

Цитата:

Представьте такую ситуацию. Вам известно, что в одном кармане у вас лежит 300 тугриков, а в другом от 30 до 50. Вопрос: какое наибольшее и найменьшее число тугриков у вас может быть в сумме в двух карманах? Думаю вам не составит труда сказать ответы: 350 и 330.
В вашей задаче требуется тоже самое)
$sina+3$
Типа в одном кармане у вас 3, а в другом sina=)

Уважаемый MrDindows ваша задача и её решение мне понятны, но как наглядный пример не подходит для сравнения. Все равно - не понимаю я что от меня требуется в приведённом примере 781 и всё тут!

[ИСН]

ximikat, не надо всей этой тригонометрии, отложите её пока. Там сложно всё очень, функции какие-то, область определения, ум за разум. Почитайте какую-нибудь книгу с обычными человеческими словами: сложение, умножение, степень.

[Gortaur]

ximikat
Ваше самобоучение крайне похвально так же, как и настойчивость. Я не знаю таких людей, которые в школе по математики получали 3 а потом бы сами за нее взялись (чаще было наоборот - в школе были 5ки, а потом приходили в универ и... оказывалось, что в школе была не математика а нечто другое).

Когда работаете с тригонометрией важно помнить несколько вещей:
1. $\sin^2x+\cos^2x = 1$ для любого $x$
2. формулы связывающие тангенс, котангенс, синус и косинус.
3. важно помнить и то, что для любого $x$ мы имеем $-1\leq \sin x \leq 1$. Из равенства 1. следует что это также верно и для косинуса.
4. все это - функции, вроде $f(x)$. Скобки у косинусов-синусов не пишут потому что так условились. Но при этом $x$ под этими функциями все равно аргумент и его ни сокращать ни использоваться отдельно от функций нельзя. Пример:

$$ \frac{\sin{x}}{\cos{x}} = \frac{\sin}{\cos}. $$

Это неверно. Хотя бы потому, что выражение справа не имеет смысла, как не имеет смысла запись $\cos$ (и не надо здесь путать ТС тем, что в некоторых случаях это имеет смысл).

Теперь к примеру г). Мы знаем, что $-1\leq\sin{a}\leq 1$ - поэтому мы знаем, что $...\leq\sin{a}+3\leq...$ - вместо многоточий давайте сами подставляйте правильный ответ.

Пример в) Вы упростили правильно (но забыли дописать буковку а). Попытайтесь определить, что раз $-1\leq\cos{a}\leq 1$, то какие границы мы можем написать для $\cos^2{a}$ и для $4\cos^2{a}$.

Теперь к делению на ноль и бесконечность. Дело в том, что чтобы с этими вещами хоть как-то корректно работать, нужно себе представлять не ноль и бесконечность, а "маленькие" и "большие" числа. Под маленькими я подразумеваю $0.01, \frac{1}{855500}, - 0.003, ...$ - то есть очень-очень близкие к нулю. Под большими мы понимаем $\frac{1}{\text{маленькое}}$.

Точно так же, $\text{маленькое} = \frac{1}{\text{большое}}$. И тут вся загвоздка. Если Вы делите на очень большое число, то у Вас всегда получается маленькое, потому что все маленькие очень близко к нулю и следовательно друг к другу - поэтому можно писать

$$ \frac{1}{\infty} = 0 $$

при этом не думая о том, какого знака большие числа, положительные или отрицательные. С другой стороны, если у Вас будет маленькое числои вы делите единичку на негу - тут роль играет знак. Например с тангенсом.

$$ \tan{x} = \frac{1}{\ctg{x}}. $$

Если $x$ очень близко к $90^{\circ}$, но меньше, то $\ctg{x}$ - маленькое положительное, поэтому $\tan{x}$ - большое положительное. Если же $x$ очень близко к $90^{\circ}$, но больше, то $\ctg{x}$ - маленькое отрицательное, поэтому $\tan{x}$ - большое отрицательное. То есть непонятно, чему приравнивать $\tan{90^{\circ}}$, плюс бесконечности или минус бесконечности, потому что если с одной стороны подойти - один ответ, а с другой стороны ответ другой.

И Вы трижды молодец, что находите интересные и неожиданные для Вас закономерности типа $0.9\cdot 0.9 = 0.81<0.9$ хотя при умножении больших чисел должно получаться число большее. Дело в том, что многие очевидные вещи известные Вам будут выполняться лишь в определенных случаях - а в других случаях они будут неверны. Удачи!

[ximikat]

Gortaur в сообщении #403610 писал(а):

ximikat
Ваше самобоучение крайне похвально так же, как и настойчивость. Я не знаю таких людей, которые в школе по математики получали 3 а потом бы сами за нее взялись (чаще было наоборот - в школе были 5ки, а потом приходили в универ и... оказывалось, что в школе была не математика а нечто другое).

Спасибо большое Вам за поддержку! Я до тригонометрии получал в школе твёрдые четвёрки - а затем произошёл завал в жизни, и я вынужден был идти работать, в связи с безденежьем в семье - было не до учёбы. В Украине пришли к власти проклятые капиталисты.
Вот сейчас у меня отпуск и я ищу возможность разобраться в математике. Спасибо, что есть на этом форуме отзывчивые люди, знающие математику. Этому я очень рад!
И ещё, я кстати занимаюсь математикой всю жизнь на бытовом уровне - например вёл подсчёт футбольной статистики для игры на тотализаторе - ну кое-что высчитал, применив составленные мною же формулы! И получилось.
Затем целый год был на курсах бухгалтеров - и я вам скажу не зря. Хотя конечно это не чистая математика и бухгалтером я не стал (т.к. экономика - не моё - точно), но многому из цифр научился (но конечно геометрии и тригонометрии там не было). Но я даже делал серъёзные отчёты вместо главного бухгалтера! Когда научился, конечно.
А сейчас мне математика нужна ещё больше - т.к. передо мной стоят серъёзные технические задания, которые я поставил себе сам. Если не получится - жизнь проедет мимо!

Цитата:

3. важно помнить и то, что для любого $x$ мы имеем $-1\leq \sin x \leq 1$. Из равенства 1. следует что это также верно и для косинуса.

Цитата:

Теперь к примеру г). Мы знаем, что $-1\leq\sin{a}\leq 1$ - поэтому мы знаем, что $...\leq\sin{a}+3\leq...$ - вместо многоточий давайте сами подставляйте правильный ответ.
Пример в) Вы упростили правильно (но забыли дописать буковку а). Попытайтесь определить, что раз $-1\leq\cos{a}\leq 1$, то какие границы мы можем написать для $\cos^2{a}$ и для $4\cos^2{a}$.

Значит я кое-что понял из этого:
1. есть кое-какие границы, в которых вмещается и синус и косинус. Причём именно только эти две функции. И в этих функциях в данном примере $cosa$ и $sina$ равны единице (как я понимаю). Поэтому в примере в я должен умножить мой ответ $4 cos^2a$ на 1. И получится верхний предел, который может достигнуть косинус. А нижний предел...нижний непойму.
2. В примере г, поскольку $sina+3$, то тут подставляем снова вместо a единицу. Получается 4 - верхний предел. Нижний тоже не пойму.

[Gortaur]

Не совсем так, эти границы значат что существуют такие $a^*,a_*$ что

$$ \sin{a^*} = 1 \quad \sin{a_*} = -1 $$

и кроме того для всех-всех $a$ верно, что синус заключен между $-1$ и $1$.

Фраза "поскольку $\sin{a}+3$, то тут подставляем снова вместо $a$ единицу" неверна потому как надо не вместо $a$ подставлять 1, а подставить такое $a^*$, что сам синус станет равным 1. Точно так же можно подставить и $a_*$ чтобы синус стал равным -1 - и получите нижнюю границу. Так как Вы затем прибавляете тройку, но границы просто на нее поднимутся.

Насчет квадрата, тут посложнее - насколько я понимаю, с базой у Вас туговато, но попытаюсь. Знаете, как выглядит график параболы $y=x^2$? А теперь задача такая - у нас $x\in[-1,1]$ и нам нужно найти минимум и максимум $x^2$. Смотрим на график и получаем, что максимум - это 1, а минимум это ...
Можно и по-другому. Квадрат числа всегда больше ...

[ximikat]

Здравствуйте, Gortaur! Да, наверное последую вашему совету и приступлю к повторению материала с 5 класса - сильно много у меня ненужных вопросов. И слабая база (с этим я согласен, т.к. математика на бытовом уровне, которой я занимался, включала в себя элементарные арифмитические действия, в основном). И ещё я всегда очень слабо решал задачи, а графики функций не могу вспомнить на память хоть убей! Поэтому берусь за начальные учебники и быстро их пролистываю. Но чтобы усложнить задание и чтобы мне было интересно, я возьму учебники Макарычева за 2008 год с углублённым изучением математики 7-9 класс. Надеюсь Вы мне поможите, т.к. вопросов будет очень много.
P.S. да и ещё, когда я занимался в школе, у нас к сожалению были все учебники на украинском языке, а дома никто из родителей не мог перевести некоторые математические термины. Поэтому иногда моя учёба заходила в тупик и по этой причине. Сейчас лучше, потому, как есть учебники Макарычева (я их взял с треккера ру-торрент).

[Gortaur]

(Оффтоп)

Не думаю, что писать про то, откуда Вы скачали что-то возможно нелегально - хорошая идея.