Утундрий писал(а):
совокупность всех мыслимых компонент образует компоненты некоего инвариантного объекта, а его произвольное подмножество вообще говоря не образует.
Ни

, ни

не являются инвариантными объектами, но в примере

это не мешает придавать одному или обоим индексам конкретные значения.
Ужель Вы не работали с нетензорными индексными выражениями? Символы Кристоффеля, частные производные,
или просто соотношения, справедливые только в выделенной системе координат... Всё это само по себе не запрещает фиксировать индексы и получать при этом справедливые выражения. Например, верно

, и не менее справедливо

. Ни нетензорность

, ни операция дифференцирования не мешают такому, ещё дедовскому, пониманию буквенных индексных выражений: они -- генератор всех вариантов, получаемых заменой букв на конкретные числа.
Утундрий писал(а):
Однако, кое что и отличается.
Ну да -- а вот некоторые выражения требуют иного понимания индексов, чем только что описанное. Определяется спецификой

. Никто не давал оснований думать, что две функции индекса -- описание внешних и внутренних "валентных связей" и перечисление компонент -- будут всегда сопутствовать друг другу.
Но вот вектор там получается или нет -- дело десятое.