Тензоры. Вопросы и задачки

[Утундрий]

svv в сообщении #402943 писал(а):

Я хочу понять принцип, из которого получается, как делать можно и как -- нельзя

Он прост: смотрите на $a_i$ как на функцию переменной $i$, принимающей дискретный ряд значений.

[alcoholist]

caxap в сообщении #403401 писал(а):

А почему именно гомоморфизмы? Разве $\operatorname{Hom}_{\mathbf C}(A,B)$ -- это не множество всех стрелок в категории $\mathbf C$

Возможно, Вы имели ввиду $\operatorname{Mor}_{\mathbf C}(A,B)$?

С другой стороны, морфизмы в категории линейных пространств -- линейные отображения, так что "что в лоб, что по лбу"

[svv]

Утундрий в сообщении #403436 писал(а):

svv в сообщении #402943 писал(а):

Я хочу понять принцип, из которого получается, как делать можно и как -- нельзя

Он прост: смотрите на $a_i$ как на функцию переменной $i$, принимающей дискретный ряд значений.

Так вот же ж, именно такое понимание и приводит к ошибке, когда мы рассматриваем выражения типа $(a_i+b_i)_{;_k}$. При любом конкретном значении индекса $i$ из Вашего дискретного набора мы получим в скобках не более чем однокомпонентное поле -- значение функции $a_i$ при данном $i$. Как бы Вы его ни дифференцировали, получится фигня.

Я пишу: $T_{ik}=(a_i+b_i)_{;_k}$. Индекс $i$ может принять значение $3$? Что сие будет означать по отношению к данному выражению?

[Padawan]

svv в сообщении #403547 писал(а):

Я пишу: $T_{ik}=(a_i+b_i)_{;_k}$. Индекс $i$ может принять значение $3$? Что сие будет означать по отношению к данному выражению?

$(a_3+b_3)_{;_k}$ -- производная по $x^k$ третьей компоненты.

А, понял, речь ведь идет о ковариантой производной. Извиняюсь.

[Утундрий]

svv
Если в $a_{ik}$ зафиксировать $k=1$, получим вектор?

[svv]

Я даю Вам три числа и спрашиваю -- это вектор?
Подсказываю: в моем вопросе информации для ответа недостаточно. Так же, как в Вашем.
Кстати, Вы не ответили ещё на предыдущий мой вопрос:

svv писал(а):

Я пишу: $T_{ik}=(a_i+b_i)_{;_k}$. Индекс $i$ может принять значение $3$? Что сие будет означать по отношению к данному выражению?

[Утундрий]

svv в сообщении #404085 писал(а):

Что сие будет означать по отношению к данному выражению?

То же, что и подстановка $k=1$ в $a_{ik}$. Ничего.

[svv]

Прекрасно.
Но в выражениях типа $c_{ik}=a_{ik}+b_{ik}$ -- разве я не могу, фиксируя $i$ и/или $k$, получать соотношения между значениями компонент?
Скажем, $c_{i2}=a_{i2}+b_{i2}$ не означает ли, что равенство справедливо при любом конкретном значении $i$ из области определения?

[Утундрий]

svv
Означает. И в этом нет ничего удивительного. Раз уж равенство справедливо при любых мыслимых значениях индексов, почему бы ему и не быть таковым же при неком подмножистве оных? Однако, кое что и отличается. А именно: совокупность всех мыслимых компонент образует компоненты некоего инвариантного объекта, а его произвольное подмножество вообще говоря не образует. Так $a_{i1}$ - не есть компоненты некоего вектора $b_i$. Также и $a_{i;1}$ не есть результат действия некоего оператора на $a_i$.

[svv]

Утундрий писал(а):

совокупность всех мыслимых компонент образует компоненты некоего инвариантного объекта, а его произвольное подмножество вообще говоря не образует.

Ни $a_{i2}$, ни $a_{12}$ не являются инвариантными объектами, но в примере $c_{ik}=a_{ik}+b_{ik}$ это не мешает придавать одному или обоим индексам конкретные значения.

Ужель Вы не работали с нетензорными индексными выражениями? Символы Кристоффеля, частные производные, или просто соотношения, справедливые только в выделенной системе координат... Всё это само по себе не запрещает фиксировать индексы и получать при этом справедливые выражения. Например, верно $\Gamma_{ij,k}=1/2 (g_{ik,j}+g_{jk,i}-g_{ij,k})$, и не менее справедливо $\Gamma_{i3,1}=1/2 (g_{i1,3}+g_{31,i}-g_{i3,1})$. Ни нетензорность $\Gamma$, ни операция дифференцирования не мешают такому, ещё дедовскому, пониманию буквенных индексных выражений: они -- генератор всех вариантов, получаемых заменой букв на конкретные числа.

Утундрий писал(а):

Однако, кое что и отличается.

Ну да -- а вот некоторые выражения требуют иного понимания индексов, чем только что описанное. Определяется спецификой . Никто не давал оснований думать, что две функции индекса -- описание внешних и внутренних "валентных связей" и перечисление компонент -- будут всегда сопутствовать друг другу.

Но вот вектор там получается или нет -- дело десятое.

[Утундрий]

svv в сообщении #404123 писал(а):

Ну да -- а вот некоторые выражения требуют иного понимания индексов, чем только что описанное. Определяется спецификой . Никто не давал оснований думать, что две функции индекса -- описание внешних и внутренних "валентных связей" и перечисление компонент -- будут всегда сопутствовать друг другу.

Этот абзац мне совершенно непонятен.

[Munin]

Утундрий в сообщении #404487 писал(а):

Этот абзац мне совершенно непонятен.

Бывает.

zhoraster:

Замечание за бессодержательное сообщение.