2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 задача по теории топологических групп
Сообщение14.10.2006, 14:29 


14/10/06
2
Tomsk
если $A,B$-замкнуты, то $A*B$-не обязательно замкнуто
Помогите придумать пример хотя бы в $R^2$ ,
где 2 замкнутых множества при сложении дают открытое множество..
Понятно, что они должны быть не компактны :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.10.2006, 15:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
1142
Насколько я знаю, первая фраза уже неправильная. В метрическом и топологических пространствах пересечение любого конечного (а в топологическом пространстве и бесконечного) числа замкнутых множеств будет сново замкнутым множеством. (См. Колмогоров, Фомин, Элементы теории функции и функционального анализа, стр. 61, теорема 3, стр.84, определение замкнутого множества, пункт 2).
Во вторых не совсем понятно, Вам нужно сложение (эквивалентно объединению) или умножение (эквивалентно пересечению)?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.10.2006, 17:05 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Что понимаете под сложением множеств?
Если это множество, являющейся суммой элеметов, то годится (-00, 1], [0,00) (я через 00 обозначил бесконечность).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.10.2006, 17:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
1142
Руст писал(а):
Что понимаете под сложением множеств?
Если это множество, являющейся суммой элеметов, то годится (-00, 1], [0,00) (я через 00 обозначил бесконечность).


А верно-ли это? У Вас $(-{\infty}, 1] $ является полуоткрытым интервалом, а по условию оба интервала должны быть замкнуты.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.10.2006, 14:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5932
Новосибирск
Capella, он замкнут, хотя слева и стоит круглая скобочка. Бывает ведь ещё хуже - и открыты и замкнуты одновременно, так ведь? :D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.10.2006, 12:57 


14/10/06
2
Tomsk
Извините вы не так поняли :) это не 2 задачки, а одна :)
из теории топологических групп
берем A,B из G(группа с топологией)
Доказываем что если A,B-замкнутые, то A*B не обязательно замкнуто

ясно,что если одно из множеств компактно, то результат замкнут.
нужно придумать 2 замкнутых не компактных множества, чтобы результат был открыт :)
значок умножения, как я понимаю. это векторное сложение множеств

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.10.2006, 15:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17999
Москва
В $\mathbb R^2$ с декартовой системой координат $Oxy$ берём в качестве $A$ ось $Oy$, а в качестве $B$ - график функции $y=\frac 1{\sqrt{1-x^2}}$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.11.2006, 00:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/07/05
210
МехМат МГУ
Capella писал(а):
В метрическом и топологических пространствах пересечение любого конечного (а в топологическом пространстве и бесконечного) числа замкнутых множеств будет сново замкнутым множеством

Хм... математика вроде учит, что всякое метрическое пространство автоматически является топологическим (понятно, какая там база топологии --- все открытые шары всех радиусов). А в топ.пр-ве пересечение любого количества (хоть несчётного) замкнутых замкнуто (сразу следует из определения топологии).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.11.2006, 01:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
1142
DMVN

Ну и в чём проблема? Что в метрическом пространстве любое несчётное пересечение замкнутых множеств будет замкнуто?
Я посмотрела ещё раз учебник по матану. Там написано следующее (множества в метрических пространствах): пересечение любого числа и сумма любого конечного числа замкнутых множеств - замкнутые множества.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group