задача по теории топологических групп

[Michiru]

если $A,B$-замкнуты, то $A*B$-не обязательно замкнуто
Помогите придумать пример хотя бы в $R^2$ ,
где 2 замкнутых множества при сложении дают открытое множество..
Понятно, что они должны быть не компактны

[Capella]

Насколько я знаю, первая фраза уже неправильная. В метрическом и топологических пространствах пересечение любого конечного (а в топологическом пространстве и бесконечного) числа замкнутых множеств будет сново замкнутым множеством. (См. Колмогоров, Фомин, Элементы теории функции и функционального анализа, стр. 61, теорема 3, стр.84, определение замкнутого множества, пункт 2).
Во вторых не совсем понятно, Вам нужно сложение (эквивалентно объединению) или умножение (эквивалентно пересечению)?

[Руст]

Что понимаете под сложением множеств?
Если это множество, являющейся суммой элеметов, то годится (-00, 1], [0,00) (я через 00 обозначил бесконечность).

[Capella]

Руст писал(а):

Что понимаете под сложением множеств?
Если это множество, являющейся суммой элеметов, то годится (-00, 1], [0,00) (я через 00 обозначил бесконечность).

А верно-ли это? У Вас $(-{\infty}, 1] $ является полуоткрытым интервалом, а по условию оба интервала должны быть замкнуты.

[bot]

Capella, он замкнут, хотя слева и стоит круглая скобочка. Бывает ведь ещё хуже - и открыты и замкнуты одновременно, так ведь?

[Michiru]

Извините вы не так поняли это не 2 задачки, а одна
из теории топологических групп
берем A,B из G(группа с топологией)
Доказываем что если A,B-замкнутые, то A*B не обязательно замкнуто

ясно,что если одно из множеств компактно, то результат замкнут.
нужно придумать 2 замкнутых не компактных множества, чтобы результат был открыт
значок умножения, как я понимаю. это векторное сложение множеств

[Someone]

В $\mathbb R^2$ с декартовой системой координат $Oxy$ берём в качестве $A$ ось $Oy$, а в качестве $B$ - график функции $y=\frac 1{\sqrt{1-x^2}}$.

[DMVN]

Capella писал(а):

В метрическом и топологических пространствах пересечение любого конечного (а в топологическом пространстве и бесконечного) числа замкнутых множеств будет сново замкнутым множеством

Хм... математика вроде учит, что всякое метрическое пространство автоматически является топологическим (понятно, какая там база топологии --- все открытые шары всех радиусов). А в топ.пр-ве пересечение любого количества (хоть несчётного) замкнутых замкнуто (сразу следует из определения топологии).

[Capella]

DMVN

Ну и в чём проблема? Что в метрическом пространстве любое несчётное пересечение замкнутых множеств будет замкнуто?
Я посмотрела ещё раз учебник по матану. Там написано следующее (множества в метрических пространствах): пересечение любого числа и сумма любого конечного числа замкнутых множеств - замкнутые множества.