Отрезок, перпендикулярный медиане.

[Сергей Маркелов]

В треугольнике ABC проведены высоты AD и BE, пересекающиеся в точке H. G - середина стороны AB. Прямые AB и DE пересекаются в точке F. Докажите, что прямые CF и GH перпендикулярны.

При внешней простоте задача не такая простая...

[nnosipov]

Сергей Маркелов в сообщении #403021 писал(а):

В треугольнике ABC проведены высоты AD и BE, пересекающиеся в точке H. G - середина стороны AB. Прямые AB и DE пересекаются в точке F. Докажите, что прямые CF и GH перпендикулярны.

При внешней простоте задача не такая простая...

Вы имеете в виду, конечно, чисто геометрическое решение. Но вычислительное решение здесь весьма примитивно, и с этой точке зрения решать эту задачу скучно (заранее знаешь, что решишь).

zhoraster:

Устное предупреждение за избыточное цитирование!

[caxap]

Идея: провести две окружности: через точки $A,E,D\,(,B)$ и через $E,H,D\,(,C)$. У первой мы сразу знаем центр. А $CF\perp GH$ эквивалентно тому, что их точка пересечения $K$ лежит на второй окружности (для этого нужно доказать, например, что у $EKDH$ сумма любых противоположных углов равна $\pi$). Там столько сразу разных фактов всплывают -- глаза разбегаются (в частности равенство множества углов, опирающихся на одинаковые дуги). Надо лишь из них собрать решение. У меня сходу ничего не получилось.

(Оффтоп)

Чертёж напомнил теорему Менелая. Хотя не знаю, что из неё сделать можно.

[Хорхе]

(спойлер)

Невооруженным глазом видно, что $CF$ -- поляра точки $H$ относительно окружности $AEDB$, откуда утверждение незамедлительно следует, поскольку $G$ -- центр этой окружности.