Теория чисел и динамические системы

[scwec]

Пусть S - конгруэнтное число, N>0 произвольное действительное число.
Верно ли следующее утверждение: найдется прямоугольный треугольник с рациональными длинами сторон, площадью S и отношением длин катетов большем N ?

[scwec]

Я бы хотел по другому задать свой вопрос.
Пусть f(x) гладкое отображение отрезка [0,1] в себя.
f(0)=0, f(1)=0, f(x)-унимодальная вогнутая функция на [0,1], max(f(x))=1
1. Верно ли, что любая траектория дискретной динамической системы, порожденной f(x)
либо периодическая либо эргодическая?
2. Нужны ли для этого какие-нибудь ограничения, например, на производную Шварца?
(Мне кажется, что нет.)
Каток и Хассельблат не дают ответа на этот вопрос. Максимум, возможно, что существует хотя бы одна эргодическая траектория в этом случае.
Связь с пифагоровыми треугольниками я пока оставляю в стороне, хотя это, возможно, самое интересное в данном вопросе.

[sup]

Как известно, $S$ - конгруэнтно, если и только если система
$a^2+b^2=2c^2$
$a^2-b^2=2Sx^2$
разрешима в рациональных числах.
Может быть Вам поможет генератор решений этой системы?
Пусть система имеет некое решение. Положим $\lambda = b/a$.
Ваш вопрос сводится к следующему: можно ли указать такое решение системы, что
$\lambda$ сколь угодно близко к 1.
Следующая формула дает заявленный генератор

$$\lambda_{n+1}=\left|\frac{1-{\lambda_n}^4-2{\lambda_n}^2}{1-{\lambda_n}^4+2{\lambda_n}^2}\right|$$

Как мне кажется, важно то, что этот генератор не зависит от $S$.
Я тут быстренько на компе погонял это выражение. Вроде как все ОК.

[scwec]

Спасибо sup за ответ.
Предложенный вариант генератора, описывающий отношение разницы катетов к сумме катетов совершенно правильный. Есть и другие генераторы- отношение катета к гипотенузе, отношение катета к катету и т.п. Замечу только, что как только выбрано начальное значение лямбда - так сразу же зафиксировано конгруэнтное число S с точностью до полного квадрата рационального числа.
Так что дальнейшие значения лямбда привязаны к S.
Но дело не в этом, а в том, что нужно не получить численное подтверждение моего предположения, а доказать его строго математически либо сослаться на имеющееся доказательство.
Я такого доказательства при всей простоте формулировки вопроса нигде не встречал, а сам строго доказать пока не смог.

[Gortaur]

У меня вопрос - отношение к теории чисел я понимаю, но при чем тут динамические системы и эквивалентная формулировка через отображение единичного отрезка на себя?

[sup]

Я невнятно выразился. Мне не удалось найти устойчивые циклы. А может их и нет? Но тогда это должно означать, что траектория $\lambda_n$ заметает "весь" отрезок (0,1). Не буду утверждать, что провел "серьёзный поиск" устойчивых циклов. Но ведь это все легко проверить. Может быть попробовать с этой стороны? Кроме того, пусть даже таковые (устойчивые или неустойчивые) существуют. С чего бы это там фигурировали РАЦИОНАЛЬНЫЕ $\lambda$. Уж скорее они должны быть иррациональными - что Вам на руку.

[scwec]

Отвечая sup: в данном случае (если не рассматривать концы отрезка 0,1) при рациональных начальных лямбда никаких циклов здесь, конечно, нет и этот факт как раз доказывается, ну не то что бы легко, но доказывается. Однако, отсюда не следует, что при любых рациональных начальных лямбда траектория всегда эргодическая. Ведь существуют и иррациональные начальные лямбда, причем в любой окрестности любой точки отрезка [0,1], которые приводят к периодическим траекториям. И в этом вся загвоздка. Тут никакими вычислениями не поможешь. Картина то ведь и так ясная. Система хаотическая.
Единственно, что можно сказать - это то, что существует начальное рациональное лямбда, при котором траектория эргодическая. А надо, чтобы при всех начальных рациональных лямбда это было так. Так, видимо, и есть. Именно это и надо доказать.

[sup]

Тогда я Вас не понял. Вы начали с того, что захотели узнать кое что про конгруэнтные числа. Их связь с эргодическими траекториями - за кадром. Рассмотрим указанный генератор. Он позволяет для фиксированного конгруэнтного числа строить различные реализации. При этом нам нет никакого дела до того, будут ли возникающие последовательности $\lambda$ эргодичными или нет. Наша задача (желательно) доказать, что в этой последовательности обязательно возникнут $\lambda$ сколь угодно близкие к 1. Коль скоро мы это докажем, мы докажем и Ваше утверждение, относительно конгруэнтного числа. То, что при этом возникла унимодальная функция (после тривиального преобразования) - просто забавный побочный эффект (хотя и весьма символичный). Доказать, что у данного генератора нет периодической траектории с рациональными числами - вроде бы легко (у них растут знаменатели). Проверить, что у данного отображения нет нетривиального притягивающего подмножества - наверное не оч. легко. Но это же ВПОЛНЕ КОНКРЕТНОЕ отображение. Если мы для него не сможем ничего "содержательного" сказать, то чего же ожидать "в общем случае". Для исследования вполне годятся и численные эксперименты.

[scwec]

Отвечая sup
Мне очень приятно с Вами общаться.
Возвращаясь к самому первому вопросу, попробую сформулировать его совсем просто.
Есть пифагоров треугольник с рациональными длинами сторон и с имеющейся площадью S(отсюда конгруэнтное число).
Надо доказать, что существует другой пифагоров треугольник с рациональными длинами сторон с такой же площадью S и отношением катетов больше любого заданного числа.
Только это меня и интересует.
Кстати, там растут и числители, а не только знаменатели. Именно поэтому нет периодических траекторий.
И еще, кстати, Вы не заметили, что мы с Вами доказали теорему о том, что точек кручения на эллиптической кривой $y^2=x^3+4S^2x$ c $y<>0$ не существует.

[sup]

Спасибо на добром слове, scwec.
Я просто "химеру словил".Рассмотрим интервал $(1-\epsilon,1)$ и $A(\epsilon)$ - полный прообраз этого интервала под действием $f^n$ (ну того генератора). Очевидно, что $A(\epsilon)$ - открыто, а его дополнение $\bar A$- замкнуто. Очевидно, что $f(\bar A)=\bar A$. И тут мне пришла в голову "светлая мысль", что $\bar A$ не может содержать рациональные числа: в прямом направлении знаменатели растут, а в обратном убывают ...

[sup]

Оставим конгруэнтные числа. У такой унимодальной функции, что Вы описали должно быть бесконечное множесто (но, однако, меры 0) "особых" точек, которые и не периодические и не эргодические.
Пример. $f(x)=4x(1-x)$. Полагая $x=sin^2(2\pi y)$, получим $x_n=sin^2(2\pi y_n), y_{n+1}=\{2y_n\}$. Пусть $y_0=\sum 1/2^{k^2}$. Легко видеть, что эта точка и не периодическая и не эргодическая. И вообще, пусть $S=b_1b_2....b_n$ некоторая последовательность 0 и 1, и пусть двоичное представление числа $y$ (как бесконечная последовательность 0 и 1) не содержит $S$ в качестве подслова. Тогда и эта точка "особая". В предыдущем примере в качестве $S$ можно взять, например, 11. Из общих соображений следует, что мера множества таких точек вроде как 0. Переход от $y$ к $x$, потребует, конечно, некоторых усилий, но вроде бы небольших.

[scwec]

Отвечая sup: Когда я говорил об унимодальной функции, то на самом деле, имел ввиду конкретную функцию
$f(x) = \frac{4x\sqrt{1-x^2}} {1 + 4x^2(1-x^2)}$.
Она, похоже, сопряжена с указанной Вами и, по моему, подробно изученной (или нет?) квадратичной функцией. Вот если доказать сопряженность, тогда, наверное, вопрос закроется.
Насчет точек непериодичности и неэргодичности пока не подумал. У меня появились другие идеи насчет доказательства начального вопроса.

[sup]

А какие проблемы с сопряжением (негладким)? Можно применить некий вариант метода кодирования. Пусть $f$ унимодальная с максимумом 1. Докажем, что она сопряжена с функцией $h(x)=1-2|x-1/2|$. Будем рассматривать все прообразы 1. А именно, пусть $S_n=\{x \in (0,1)| f^k(x)=1, k\leqslant n\}$. Очевидно, что объединение всех этих множеств плотно в отрезке $[0,1]$. Вот на этом объединении и определим некую функцию $a(x)$, обладающую свойством $h(a(x))=a(f(x))$. А потом продолжим её на весь отрезок по непрерывности.
Заметим, что $S_n$ содержит в точности $2^n-1$ точек. Упорядочим их по возрастанию, обозначим $s_k, k=\overline{1,2^n-1}$, и положим $a(s_k)=\frac{k}{2^n}$. С помощью индукции легко проверяется, что это определение корректно, а $a(x)$ удовлетворяет равенству $h(a(x))=a(f(x))$. Таким образом, эргодичность траекторий можно свести к одной единственной функции $h(x)$, а равно и всякой другой, например квадратичной.

[scwec]

Отвечая sup: с Вашими рассуждениями полностью согласен (если уж не придираться к мелочам), однако ведь для доказательства начального вопроса этого недостаточно.
Фактически, из всего сказанного вытекает следующее полезное утверждение: для Вашего генератора (и для моего тоже) из $\forall$ окрестности $\forall$ точки интервала (0,1) исходит эргодическая траектория.
Но ведь не факт, что она исходит из всех нужных нам точек.
А нужные условия для всех начальных $\lambda$, соответствующих прямоугольным треугольникам с рациональными сторонами, для Вашего генератора следующие:
$\lambda$ и $\sqrt{2(1+{\lambda}^2)}$ - рациональные числа
Для моего генератора(унимодальной вогнутой функции): $\lambda$ и $\sqrt{1-{\lambda}^2}$ - рациональные числа.
В обоих случаях траектории, начинающиеся во всех таких точках не являются периодическими.
Это совершенно точно. Но это и всё. А ведь нам то нужно, чтобы все они были ну пусть не эргодическими, но хотя бы заходили в любую окрестность 1.
Честно сказать, я думал, что этот факт хорошо известен и со спокойной совестью можно будет на это сослаться или сказать: очевидно,что...
Пока что-то не получается.

[EWKLID]

Думаю, что, к сожалению, все, что мы обсуждали, упирается в проблему нахождения решений в зависимости от начальных условий. Соображения общего порядка здесь не имеют смысла.
Эргодичность или периодчность не обусловлены ни чем. Я нашел решение задачи, к сожалению, совершенно в другом ракурсе. Однако, в первоначальной постановке задача пока не решена и я думаю, что она не будет решена пока не будет решена задача уровня "Бёрча Свиннертон-Дайера".