2011^2011 делителей

[Xenia1996]

Эту задачу я придумала сама только что.

m и n - натуральные числа, n>1.
Известно, что 2^m+1 делится нацело на 2^n-1.
Может ли количество различных натуральных делителей числа mn равняться 2011^{2011}?

(Оффтоп)

Задача имеет нетрудное, но красивое решение.

[Sonic86]

$$2^n-1|2^m+1 \Leftrightarrow 2^n-1|2^m+1+(2^n-1) \Leftrightarrow 2^n-1|2^{m-n}+1 \Leftrightarrow...2^n-1|2^{m \mod n}+1 \Rightarrow 2^n-1 \leq 2^{m \mod n} +1$$

Однако $m \mod n < n$, значит $m \mod n = n-a, a>0$. Т.е. $2^n \leq 2^{n-a} +2$, откуда $n=2$, а оттуда $m$ - нечетно и потом $2||\tau (mn)$ и все.

[Xenia1996]

Sonic86 в сообщении #402697 писал(а):

...Т.е. $2^n \leq 2^{n-a} +2$, откуда $n=2$, а оттуда $m$ - нечетно и потом $2||\tau (mn)$ и все.

Число делителей - нечётно, значит, имеем дело с квадратом. Но квадрат не может делиться на 2, не делясь на 4.
Поскольку единственным решением уравнения является $(2k+1; 2) (k=0, 1, 2, \dots)$, произведение делится на2, но не на 4.

[age]

(Оффтоп)

А чё так мало делителей ?

[Xenia1996]

age в сообщении #402737 писал(а):

(Оффтоп)

А чё так мало делителей ?

(Оффтоп)

А остальные делители к другой Ксюше сбежали

[Sonic86]

Xenia1996 писал(а):

Число делителей - нечётно, значит, имеем дело с квадратом.

Ага! Лаконично!