2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 2011^2011 делителей
Сообщение21.01.2011, 13:59 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
Эту задачу я придумала сама только что.

m и n - натуральные числа, n>1.
Известно, что 2^m+1 делится нацело на 2^n-1.
Может ли количество различных натуральных делителей числа mn равняться 2011^{2011}?

(Оффтоп)

Задача имеет нетрудное, но красивое решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2011^2011 делителей
Сообщение21.01.2011, 15:25 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
$$2^n-1|2^m+1 \Leftrightarrow 2^n-1|2^m+1+(2^n-1) \Leftrightarrow 2^n-1|2^{m-n}+1 \Leftrightarrow...2^n-1|2^{m \mod n}+1 \Rightarrow 2^n-1 \leq 2^{m \mod n} +1$$
Однако $m \mod n < n$, значит $m \mod n = n-a, a>0$. Т.е. $2^n \leq 2^{n-a} +2$, откуда $n=2$, а оттуда $m$ - нечетно и потом $2||\tau (mn)$ и все.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2011^2011 делителей
Сообщение21.01.2011, 15:46 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
Sonic86 в сообщении #402697 писал(а):
...Т.е. $2^n \leq 2^{n-a} +2$, откуда $n=2$, а оттуда $m$ - нечетно и потом $2||\tau (mn)$ и все.

:appl:
Число делителей - нечётно, значит, имеем дело с квадратом. Но квадрат не может делиться на 2, не делясь на 4.
Поскольку единственным решением уравнения является $(2k+1; 2) (k=0, 1, 2, \dots)$, произведение делится на2, но не на 4.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2011^2011 делителей
Сообщение21.01.2011, 17:47 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213

(Оффтоп)

А чё так мало делителей ? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: 2011^2011 делителей
Сообщение21.01.2011, 19:46 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
age в сообщении #402737 писал(а):

(Оффтоп)

А чё так мало делителей ? :D

(Оффтоп)

А остальные делители к другой Ксюше сбежали :D

 Профиль  
                  
 
 Re: 2011^2011 делителей
Сообщение22.01.2011, 10:46 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
Xenia1996 писал(а):
Число делителей - нечётно, значит, имеем дело с квадратом.

Ага! Лаконично!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: mihaild


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group