Четырехточечная функция Грина в КТП

[weider]

Кто-нить знает физический смысл четырехточечной функции Грина $G^{(4)}(x_1,x_2,x_3,x_4)$ в КТП?
И как ее можно использовать при расчете сечения рассеяния двух частиц?

[Munin]

Свернуть с плоскими волнами входящих состояний частиц - она даст выходящие состояния. Раскладывая их по базису плоских волн, имеете амплитуды рассеяния в импульсном виде. Вероятность есть квадрат комплексного модуля амплитуды. На пальцах это хорошо изложено в Хелзене, Мартине.

[weider]

Munin, посмотрел я эту книжку про кварки и лептоны, но что-то про
четырехточечную функцию Грина я там ничего не нашел, но книга интересная. спс.

Вот еще вопрос: почему в разных книгах пишут то

$D_{\mu}=\partial_{\mu}+ieA_{\mu}$
то

$D_{\mu}=\partial_{\mu}-ieA_{\mu}$
(как например в Хелзене Мартине)? И то и другое правильно?

[Bulinator]

weider в сообщении #400832 писал(а):

$D_{\mu}=\partial_{\mu}+ieA_{\mu}$
то
$D_{\mu}=\partial_{\mu}-ieA_{\mu}$
(как например в Хелзене Мартине)? И то и другое правильно?

Это следует из того, что $\imath$ есть одно из решений уравнения
$x^2+1=0$

[Munin]

Возможно, это от принятой метрики зависит.

За книжку извиняюсь.

[Munin]

По поводу смысла n-точечной функции Грина (странно, я думал, везде есть) Райдер § 6.3. Правда, в этом параграфе пример приводится для невзаимодействующих частиц, но смысл самой функции остаётся тот же, только вычисление меняется.

[weider]

Munin, спасибо, ссылку посмотрел. Значит

$G(x_1,x_2,x_3,x_4)=\Delta_F(x_1-x_2)\Delta_F(x_3-x_4) +\Delta_F(x_1-x_3)\Delta_F(x_2-x_4) +\Delta_F(x_1-x_4)\Delta_F(x_2-x_3)$

описывает все возможные варианты распространения сигнала между точками $x_1,x_2,x_3,x_4$. Странно. Если мы хотим, например, вычислить амплитуду перехода 2-х частиц из т. $x_1,x_2$ в т. $x_3,x_4$, соответственно (для этого случая ответ $\Delta_F(x_1-x_3)\Delta_F(x_2-x_4)$), то, как мы можем использовать $G(x_1,x_2,x_3,x_4)$? Она же сумма амплитуд трех различных переходов. Получается мы должны руками вычленять из $G(x_1,x_2,x_3,x_4)$ нужный нам вклад. В случае свободных полей это элементарно, но в случае взаимодействующих полей это может быть нетривиальным. Вот это то и странно. Что тут не так?

[Munin]

weider в сообщении #401296 писал(а):

Значит

$G(x_1,x_2,x_3,x_4)=\Delta_F(x_1-x_2)\Delta_F(x_3-x_4) +\Delta_F(x_1-x_3)\Delta_F(x_2-x_4) +\Delta_F(x_1-x_4)\Delta_F(x_2-x_3)$

описывает все возможные варианты распространения сигнала между точками $x_1,x_2,x_3,x_4$.

Внимание: только в невзаимодействующем случае. В этом случае сечения рассеяния вообще нет, сами понимаете.

weider в сообщении #401296 писал(а):

Если мы хотим, например, вычислить амплитуду перехода 2-х частиц из т. $x_1,x_2$ в т. $x_3,x_4$, соответственно (для этого случая ответ $\Delta_F(x_1-x_3)\Delta_F(x_2-x_4)$), то, как мы можем использовать $G(x_1,x_2,x_3,x_4)$?

Нет. Для этого случая ответ как раз $G(x_1,x_2,x_3,x_4)$ - в том случае, если частицы тождественные. А если не тождественные, то ответ всё равно $G(x_1,x_2,x_3,x_4),$ только в данном случае $G(x_1,x_2,x_3,x_4)=\Delta_F(x_1-x_3)\Delta_F(x_2-x_4).$ То есть на этот вопрос всегда ответ $G(x_1,x_2,x_3,x_4)$ - это просто обозначение для такого ответа. А чему он конкретно равен - вычисляется по-разному.

weider в сообщении #401296 писал(а):

Получается мы должны руками вычленять из $G(x_1,x_2,x_3,x_4)$ нужный нам вклад.

Нет. Составлять $G(x_1,x_2,x_3,x_4)$ из вкладов нужно, а вычленять как раз нет. Именно $G(x_1,x_2,x_3,x_4)$ является в данном случае окончательным ответом на вопрос.

[weider]

Munin писал(а):

Внимание: только в невзаимодействующем случае. В этом случае сечения рассеяния вообще нет, сами понимаете.

На примере этого случая я и хочу разобраться.

Munin писал(а):

То есть на этот вопрос всегда ответ $G(...)$ - это просто обозначение для такого ответа. А чему он конкретно равен - вычисляется по-разному.

Иначе говоря, вы хотите сказать ответ всегда обозначается буквой $G(...)$ - это я могу понять, а то, как он получается всегда разным мне непонятно. В том же Райдере описывается процедура построения $G(...)$ основанная на теореме Вика и она дает всегда один ответ.

Давайте рассмотрим, для ясности, амплитуду перехода из 1,2 в 3,4, которую мы могли бы впоследствии использовать для вычисления распространения волновой функции двухчастичной системы, например.
В моем понимании

$\Delta_F(x_1-x_3)\Delta_F(x_2-x_4)$ - описывает распространение $1\to 3$, $2\to 4$,

$\Delta_F(x_1-x_4)\Delta_F(x_2-x_3)$ - описывает распространение $1\to 4$, $2\to 3$,

$\Delta_F(x_1-x_2)\Delta_F(x_3-x_4)$ - описывает распространение $1\to 2$, $3\to 4$,

поэтому, если мы хотим описать распространение из точек 1,2 в точки 3,4 с обменом то, это будет сумма вкладов $\Delta_F(x_1-x_3)\Delta_F(x_2-x_4)+\Delta_F(x_1-x_4)\Delta_F(x_2-x_3)$.

С другой стороны т. Вика дает $\Delta_F(x_1-x_3)\Delta_F(x_2-x_4)+\Delta_F(x_1-x_4)\Delta_F(x_2-x_3)+\Delta_F(x_1-x_2)\Delta_F(x_4-x_3)$, что вступает в противоречие с тем, что мы получили до этого, на основании физического смысла пропагатора. Чтобы это противоречие разрешить наверно нужно найти процедуру, которая позволяла бы исключить слагаемое $\Delta_F(x_1-x_2)\Delta_F(x_3-x_4)$ и аналогичные (вероятно более сложные слагаемые) в случае взаимодействующих полей.

Что значит конечный ответ вычисляется по-разному? Что вы имеете в виду?

[Munin]

Смотрите. В данном случае у вас рассматривается некоторое бозонное поле, кажется, скалярное. Это значит, что у него не различаются частицы и античастицы. Поэтому две начальные частицы, 1 и 2, вполне могут друг с другом проаннигилировать, а две конечные - быть двумя частями рождённой пары. На диаграмме это возможно, потому что на линиях нет стрелочек: мы можем нарисовать линию от 1 к 2, потому что нигде не сказано, что линия в обеих точках должна быть "выходящей". Если бы у нас были фермионы, с различающимися частицами и античастицами, то на линиях были бы стрелочки: на мировой линии фермиона стрелочка указывает, что он движется из прошлого в будущее, а на мировой линии антифермиона - из будущего в прошлое. Тогда мы бы не могли включить слагаемое 1-2 3-4, потому что в обеих точках 1 и 2 у нас были бы "выходящие" линии, и провести между ними линию было бы нельзя.

Теперь про обменные диаграммы. Две результирующие частицы, 3 и 4, у нас тождественны, поэтому мы никак не можем физически потребовать, чтобы они сохранили тот порядок, в котором были запущены из состояний 1 и 2. В любом эксперименте у нас остаётся некоторая вероятность (даже не вероятность, а амплитуда!), что они по ходу дела поменяются местами. Поэтому обязательно надо включить оба слагаемых, и 1-3 2-4, и 1-4 2-3, причём на равных. Впоследствии, для более сложных диаграмм, будет каждый раз сохраняться тот же принцип. Есть только один вариант "не перепутать" частицы - это если задать, что они должны быть разные. Либо взять поле с различающимися частицами и античастицами, и запустить в 1 частицу, а в 2 античастицу (или хотя бы частицы с противоположными спинами). Либо взять систему полей с разными сортами частиц, и запустить, например, в 1 электрон, а в 2 мюон.

Только со всеми этими усложнениями и предосторожностями и можно сократить четырёхточечную функцию Грина до одного слагаемого из двух пропагаторов. А если этих усложнений нет (рассматривается только самый простой случай), автоматически получаются все три слагаемых.

-- 18.01.2011 16:55:40 --

P. S. Имейте в виду, что вы можете физически ограничить те варианты, про которые я говорил, например, сделать так, что 1 и 2 будут точками, разделёнными пространственноподобным интервалом. Но это не повлияет на выражение для функции Грина. Просто для некоторых пар значений $x_1,x_2$ значение пропагатора $\Delta_F(x_1-x_2)$ окажется равным нулю, и всё слагаемое занулится, но для других пар значений оно будет ненулевым, и поэтому в общем выражении слагаемое всё равно должно стоять.

[weider]

Munin в сообщении #401488 писал(а):

В данном случае у вас рассматривается некоторое бозонное поле, кажется, скалярное. Это значит, что у него не различаются частицы и античастицы. Поэтому две начальные частицы, 1 и 2, вполне могут друг с другом проаннигилировать, а две конечные - быть двумя частями рождённой пары.

они вполне бы могли проаннигилировать друг с другом, если могли бы взаимодействовать друг с другом, но мы же обсуждаем случай свободных полей. Почему вы так уверены, что это слагаемое обязательно должно присутствовать при расчете амплитуды распространения?

Более того, в импульсном представлении: $\Delta(x_1-x_2)\Delta(x_3-x_4)$ переходит в $(...)\delta(p_1-p_2)\delta(p_3-p_4)$, поэтому если в начальном состоянии мы имеем два бозона с импульсами $p_1=p_2$ то, формально существует вероятность получить в конечном состоянии опять два бозона, но уже с импульсами $p_3=p_4$, которые вообще-то уже могут не совпадать с исходными импульсами $p_1=p_2$, что приводит к несохранению энергии-импульса. Заметьте, два остальных слагаемых к такому не приводят.

Munin писал(а):

например, сделать так, что 1 и 2 будут точками, разделёнными пространственноподобным интервалом. Но это не повлияет на выражение для функции Грина. Просто для некоторых пар значений значение пропагатора окажется равным нулю

С этим я согласиться не могу. Фейнмановский пропагатор не равен нулю при пространственноподобном интервале: http://en.wikipedia.org/wiki/Propagator_(Quantum_Theory)

[Munin]

weider в сообщении #401844 писал(а):

они вполне бы могли проаннигилировать друг с другом, если могли бы взаимодействовать друг с другом, но мы же обсуждаем случай свободных полей.

Вы правы, я использовал не то слово. Аннигиляция - это когда на входе частица и античастица, а на выходе продукты реакции. Диаграмма содержит как минимум одну вершину. А здесь другое, здесь только два "входа" "замыкаются" друг на друга, и ничего не остаётся. Диаграмма - одна простая линия. Я не знаю, как это называется, может, просто пропагатор?

weider в сообщении #401844 писал(а):

Почему вы так уверены, что это слагаемое обязательно должно присутствовать при расчете амплитуды распространения?

А потому что нет никаких способов запретить его присутствие. Более того, четырёхточечная функция Грина (в нашем случае одного поля) - вещь универсальная, её как ни крути, должно оставаться одно и то же. То есть, если мы поменяем местами точки $x_2$ и $x_3,$ функция должна остаться одна и та же, ну максимум умножиться на какую-нибудь $e^{i\varphi}.$ В самих индексах 2 и 3 нигде не сказано, что по времени $x_2$ должна быть вначале, а $x_3$ в конце, поэтому такая операция законна. А "сценарий" 1-3 2-4 вы как раз считаете вполне допустимым. Вот, значит и 1-2 3-4 должны учитывать.

weider в сообщении #401844 писал(а):

Более того, в импульсном представлении: $\Delta(x_1-x_2)\Delta(x_3-x_4)$ переходит в $(...)\delta(p_1-p_2)\delta(p_3-p_4)$, поэтому если в начальном состоянии мы имеем два бозона с импульсами $p_1=p_2$ то, формально существует вероятность получить в конечном состоянии опять два бозона, но уже с импульсами $p_3=p_4$, которые вообще-то уже могут не совпадать с исходными импульсами $p_1=p_2$, что приводит к несохранению энергии-импульса.

А здесь всё ещё проще. Вы имеете два бозона с равными импульсами, только если считаете один "входящим", а другой "выходящим". А если вы считаете оба "входящими", то импульсы у них противоположны, и суммарный импульс просто нуль (и энергия, кстати, тоже). Соответственно, в выходном состоянии тоже будет нуль.

Зато заметьте, при любых "входящих" состояниях с $p_1\ne -p_2$ это слагаемое будет просто равно нулю, и не будет тревожить физического смысла.

weider в сообщении #401844 писал(а):

С этим я согласиться не могу. Фейнмановский пропагатор не равен нулю при пространственноподобном интервале

Ну извините, надо было взять вместо фейнмановского другой пропагатор.

[weider]

Munin, в общем все более-менее ясно. Спасибо за помощь. Кстати, Райдер оказался очень даже неплохой
книгой. Я его раньше просматривал, но как-то недооценил. Теперь понимаю, что зря.

[Munin]

Извините за косноязычность.