2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 
Сообщение19.01.2011, 22:24 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Rubik в сообщении #401943 писал(а):
arqady в сообщении #401899 писал(а):
Вы, наверное, имели в виду, что $(a+b)(a+c)(b+c)\neq0$.

Конечно, иначе неравенство смысла не имеет.

Мне хотелось бы понять. Вы согласны, что без условия $(a+b)(a+c)(b+c)\neq0$ Ваше неравенство неверно?
DiviSer в сообщении #401935 писал(а):
arqady в сообщении #401922 писал(а):
Проверьте $c>0$ и $a+b\rightarrow0^-$.



$\left(\frac{a}{b+c}\right)^2+\left(\frac{b}{c+a}\right)^2+\left(\frac{c}{a+b}\right)^2\ge \left(\frac{|a|}{|b|+|c|}\right)^2+\left(\frac{|b|}{|c|+|a|}\right)^2+\left(\frac{|c|}{|a|+|b|}\right)^2\geqslant\frac34

Это верно. Только моё замечание было по поводу другого неравенства.

 Профиль  
                  
 
 Re:
Сообщение19.01.2011, 22:34 


28/03/10
62
arqady в сообщении #401952 писал(а):
Это верно. Только моё замечание было по поводу другого неравенства.

Совсем несложно было додуматься что везде можно брать $a,b,c>0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение19.01.2011, 22:51 


03/10/10
102
Казахстан
Ну можно ещё проще: упорядочим $a \geqslant b \geqslant c \geqslant 0$. Ясно, что $a+b \geqslant b+c \geqslant c+c=2c$, а так же $a^2+b^2 \geqslant c^2+c^2$, тогда имеем, заменим знаменатель каждой дроби на меньшее число, тем самым увеличив всю дробь, а значит и строгость неравенства:
$\frac{a^2}{4c^2}+\frac{b^2}{4c^2}+\frac{c^2}{4c^2} \geqslant \frac34$
$\frac{a^2+b^2}{c^2} \geqslant 2$. Вот и все)

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение19.01.2011, 22:54 
Заслуженный участник


02/08/10
629
Simba в сообщении #401963 писал(а):
Ну можно ещё проще: упорядочим $a \geqslant b \geqslant c \geqslant 0$. Ясно, что $a+b \geqslant b+c \geqslant c+c=2c$, а так же $a^2+b^2 \geqslant c^2+c^2$, тогда имеем, заменим знаменатель каждой дроби на меньшее число, тем самым увеличив всю дробь, а значит и строгость неравенства:
$\frac{a^2}{4c^2}+\frac{b^2}{4c^2}+\frac{c^2}{4c^2} \geqslant \frac34$
$\frac{a^2+b^2}{c^2} \geqslant 2$. Вот и все)

Как раз наоборот, строгость вы уменьшили) И так делать нельзя)

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение19.01.2011, 23:05 
Аватара пользователя


29/12/09
74
arqady в сообщении #401952 писал(а):
Мне хотелось бы понять. Вы согласны, что без условия $(a+b)(a+c)(b+c)\neq0$ Ваше неравенство неверно?

Это произведение равно нулю только тогда, когда один из сомножителей равен нулю. Тогда в одном из знаменателей будет ноль, неравенство не определено.
Simba в сообщении #401963 писал(а):
Ну можно ещё проще: упорядочим $a \geqslant b \geqslant c \geqslant 0$. Ясно, что $a+b \geqslant b+c \geqslant c+c=2c$, а так же $a^2+b^2 \geqslant c^2+c^2$, тогда имеем, заменим знаменатель каждой дроби на меньшее число, тем самым увеличив всю дробь, а значит и строгость неравенства:
$\frac{a^2}{4c^2}+\frac{b^2}{4c^2}+\frac{c^2}{4c^2} \geqslant \frac34$
$\frac{a^2+b^2}{c^2} \geqslant 2$. Вот и все)

Если $a \geqslant b \geqslant c \geqslant 0$, то $\left(\frac{a}{b+c}\right)^2+\left(\frac{b}{c+a}\right)^2+\left(\frac{c}{a+b}\right)^2\leqslant\frac{a^2}{4c^2}+\frac{b^2}{4c^2}+\frac{c^2}{4c^2}\geqslant\frac34$, что мне ничего не даст.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение19.01.2011, 23:22 


03/10/10
102
Казахстан
Rubik в сообщении #401975 писал(а):
Если , то , что мне ничего не даст.

MrDindows в сообщении #401965 писал(а):
ак раз наоборот, строгость вы уменьшили) И так делать нельзя)

Простите меня) Что-то я глупанул) все сделал совсем наоборот, хотел обойтись без известных неравенств) :oops: :oops:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.01.2011, 23:40 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Rubik в сообщении #401975 писал(а):
arqady в сообщении #401952 писал(а):
Мне хотелось бы понять. Вы согласны, что без условия $(a+b)(a+c)(b+c)\neq0$ Ваше неравенство неверно?

Это произведение равно нулю только тогда, когда один из сомножителей равен нулю. Тогда в одном из знаменателей будет ноль, неравенство не определено.

Может, всё-таки ответите на мой вопрос?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение20.01.2011, 18:41 
Аватара пользователя


29/12/09
74
arqady в сообщении #401989 писал(а):
Может, всё-таки ответите на мой вопрос?

Что-то я Вас не понимаю. Ответьте, пожалуйста, на такой вопрос: имеет ли это неравенство смысл при невыполнении вашего условия? $(a+b)(a+c)(b+c)\neq0$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.01.2011, 01:22 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Rubik в сообщении #402363 писал(а):
arqady в сообщении #401989 писал(а):
Может, всё-таки ответите на мой вопрос?

Что-то я Вас не понимаю.

Попробую объснить... Вам был задан вопрос:
arqady в сообщении #401952 писал(а):
Вы согласны, что без условия $(a+b)(a+c)(b+c)\neq0$ Ваше неравенство неверно?

Вот на него ответьте, пожалуйста. Да или нет?
Rubik в сообщении #402363 писал(а):
Ответьте, пожалуйста, на такой вопрос: имеет ли это неравенство смысл при невыполнении вашего условия? $(a+b)(a+c)(b+c)\neq0$

С превеликим удовольствием, если Вы мне объясните, что значит неравенство имеет смысл и что значит неравенство не имеет смысла и как это можно применить к доказательству Вашего неравенства?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение21.01.2011, 01:54 
Аватара пользователя


29/12/09
74
arqady в сообщении #402529 писал(а):
С превеликим удовольствием, если Вы мне объясните, что значит неравенство имеет смысл и что значит неравенство не имеет смысла и как это можно применить к тому, что мы хотим доказать?

Имеет смысл это значит что обе части неравенства определены. Если Ваше условие не выполняется, то в знаменателе одной из дробей в левой части стоит ноль, поэтому выражение, стоящее в левой части, не определено.
arqady в сообщении #402529 писал(а):
Вот на него ответьте, пожалуйста. Да или нет?

К сожалению, я не знаю, как сравнивать неопределённые величины. Покажите пример: есть ли среди этих трёх высказываний правильное: $\tg\frac{\pi}2=\arcsin2$, $\tg\frac{\pi}2>\arcsin2$, $\tg\frac{\pi}2<\arcsin2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение21.01.2011, 02:10 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Rubik в сообщении #402533 писал(а):
arqady в сообщении #402529 писал(а):
С превеликим удовольствием, если Вы мне объясните, что значит неравенство имеет смысл и что значит неравенство не имеет смысла и как это можно применить к тому, что мы хотим доказать?

Имеет смысл это значит что обе части неравенства определены. Если Ваше условие не выполняется, то в знаменателе одной из дробей в левой части стоит ноль, поэтому выражение, стоящее в левой части, не определено.

Теперь, наверное, Вы и на мой вопрос ответите... Как это можно применить к доказательству нашего неравенства? Верно оно или нет в Вашей формулировке?
Rubik в сообщении #402533 писал(а):
Покажите пример: есть ли среди этих трёх высказываний правильное: $\tg\frac{\pi}2=\arcsin2$, $\tg\frac{\pi}2>\arcsin2$, $\tg\frac{\pi}2<\arcsin2$.

Вы же сами говорите, что это всё высказывания. Им некуда деваться. Каждое из них либо истинно, либо ложно...

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение21.01.2011, 13:08 


07/08/09
61
СПб
Мне кажется, все же, содержательным уточнение этого неравенства в следующем направлении.

При фиксированном вещественном $\alpha$, найти инфимум выражения $(\frac{a}{b+c})^{\alpha}+(\frac{b}{c+a})^{\alpha}+(\frac{c}{a+b})^{\alpha}$ по всем $a, b, c >0$.

Отмечу ("хорошо известно"), что при $\alpha=1/2$ этот инфимум меньше $\sqrt{4,5}$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.01.2011, 15:17 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Mr. X в сообщении #402634 писал(а):
Отмечу ("хорошо известно"), что при $\alpha=1/2$ этот инфимум меньше $\sqrt{4,5}$.

При $\alpha=1/2$ он просто равен $2$.
Здесь, кстати, имеется следующее забавное усиление.
Для неотрицательных $a$, $b$ и $c$ таких, что $ab+ac+bc\neq0$, докажите, что
$$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq2\sqrt{1+\frac{abc}{(a+b)(a+c)(b+c)}}$$

 Профиль  
                  
 
 Re:
Сообщение21.01.2011, 18:02 


07/08/09
61
СПб
arqady в сообщении #402696 писал(а):

При $\alpha=1/2$ он просто равен $2$.


Это я тоже знал. :)

А чему равен этот инфимум при (всех) остальных $\alpha$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение21.01.2011, 18:08 
Аватара пользователя


29/12/09
74
arqady в сообщении #402534 писал(а):
Теперь, наверное, Вы и на мой вопрос ответите... Как это можно применить к доказательству нашего неравенства? Верно оно или нет в Вашей формулировке?

Если $(a+b)(b+c)(c+a)=0$, то моё неравенство не верно, так же, как и обратное неравенство, поскольку левая часть не определена. Однако условие $(a+b)(b+c)(c+a)\neq0$, я считаю, писать не надо, поскольку подразумевается, что неравенство следует рассматривать только при допустимых значениях $a$, $b$, $c$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 45 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: nnosipov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group