Неравенство

[arqady]

Rubik в сообщении #401943 писал(а):

arqady в сообщении #401899 писал(а):

Вы, наверное, имели в виду, что $(a+b)(a+c)(b+c)\neq0$.

Конечно, иначе неравенство смысла не имеет.

Мне хотелось бы понять. Вы согласны, что без условия $(a+b)(a+c)(b+c)\neq0$ Ваше неравенство неверно?

DiviSer в сообщении #401935 писал(а):

arqady в сообщении #401922 писал(а):

Проверьте $c>0$ и $a+b\rightarrow0^-$.

$\left(\frac{a}{b+c}\right)^2+\left(\frac{b}{c+a}\right)^2+\left(\frac{c}{a+b}\right)^2\ge \left(\frac{|a|}{|b|+|c|}\right)^2+\left(\frac{|b|}{|c|+|a|}\right)^2+\left(\frac{|c|}{|a|+|b|}\right)^2\geqslant\frac34

Это верно. Только моё замечание было по поводу другого неравенства.

[DiviSer]

arqady в сообщении #401952 писал(а):

Это верно. Только моё замечание было по поводу другого неравенства.

Совсем несложно было додуматься что везде можно брать $a,b,c>0$

[Simba]

Ну можно ещё проще: упорядочим $a \geqslant b \geqslant c \geqslant 0$. Ясно, что $a+b \geqslant b+c \geqslant c+c=2c$, а так же $a^2+b^2 \geqslant c^2+c^2$, тогда имеем, заменим знаменатель каждой дроби на меньшее число, тем самым увеличив всю дробь, а значит и строгость неравенства:
$\frac{a^2}{4c^2}+\frac{b^2}{4c^2}+\frac{c^2}{4c^2} \geqslant \frac34$
$\frac{a^2+b^2}{c^2} \geqslant 2$. Вот и все)

[MrDindows]

Simba в сообщении #401963 писал(а):

Ну можно ещё проще: упорядочим $a \geqslant b \geqslant c \geqslant 0$. Ясно, что $a+b \geqslant b+c \geqslant c+c=2c$, а так же $a^2+b^2 \geqslant c^2+c^2$, тогда имеем, заменим знаменатель каждой дроби на меньшее число, тем самым увеличив всю дробь, а значит и строгость неравенства:
$\frac{a^2}{4c^2}+\frac{b^2}{4c^2}+\frac{c^2}{4c^2} \geqslant \frac34$
$\frac{a^2+b^2}{c^2} \geqslant 2$. Вот и все)

Как раз наоборот, строгость вы уменьшили) И так делать нельзя)

[Rubik]

arqady в сообщении #401952 писал(а):

Мне хотелось бы понять. Вы согласны, что без условия $(a+b)(a+c)(b+c)\neq0$ Ваше неравенство неверно?

Это произведение равно нулю только тогда, когда один из сомножителей равен нулю. Тогда в одном из знаменателей будет ноль, неравенство не определено.

Simba в сообщении #401963 писал(а):

Ну можно ещё проще: упорядочим $a \geqslant b \geqslant c \geqslant 0$. Ясно, что $a+b \geqslant b+c \geqslant c+c=2c$, а так же $a^2+b^2 \geqslant c^2+c^2$, тогда имеем, заменим знаменатель каждой дроби на меньшее число, тем самым увеличив всю дробь, а значит и строгость неравенства:
$\frac{a^2}{4c^2}+\frac{b^2}{4c^2}+\frac{c^2}{4c^2} \geqslant \frac34$
$\frac{a^2+b^2}{c^2} \geqslant 2$. Вот и все)

Если $a \geqslant b \geqslant c \geqslant 0$, то $\left(\frac{a}{b+c}\right)^2+\left(\frac{b}{c+a}\right)^2+\left(\frac{c}{a+b}\right)^2\leqslant\frac{a^2}{4c^2}+\frac{b^2}{4c^2}+\frac{c^2}{4c^2}\geqslant\frac34$, что мне ничего не даст.

[Simba]

Rubik в сообщении #401975 писал(а):

Если , то , что мне ничего не даст.

MrDindows в сообщении #401965 писал(а):

ак раз наоборот, строгость вы уменьшили) И так делать нельзя)

Простите меня) Что-то я глупанул) все сделал совсем наоборот, хотел обойтись без известных неравенств)

[arqady]

Rubik в сообщении #401975 писал(а):

arqady в сообщении #401952 писал(а):

Мне хотелось бы понять. Вы согласны, что без условия $(a+b)(a+c)(b+c)\neq0$ Ваше неравенство неверно?

Это произведение равно нулю только тогда, когда один из сомножителей равен нулю. Тогда в одном из знаменателей будет ноль, неравенство не определено.

Может, всё-таки ответите на мой вопрос?

[Rubik]

arqady в сообщении #401989 писал(а):

Может, всё-таки ответите на мой вопрос?

Что-то я Вас не понимаю. Ответьте, пожалуйста, на такой вопрос: имеет ли это неравенство смысл при невыполнении вашего условия? $(a+b)(a+c)(b+c)\neq0$

[arqady]

Rubik в сообщении #402363 писал(а):

arqady в сообщении #401989 писал(а):

Может, всё-таки ответите на мой вопрос?

Что-то я Вас не понимаю.

Попробую объснить... Вам был задан вопрос:

arqady в сообщении #401952 писал(а):

Вы согласны, что без условия $(a+b)(a+c)(b+c)\neq0$ Ваше неравенство неверно?

Вот на него ответьте, пожалуйста. Да или нет?

Rubik в сообщении #402363 писал(а):

Ответьте, пожалуйста, на такой вопрос: имеет ли это неравенство смысл при невыполнении вашего условия? $(a+b)(a+c)(b+c)\neq0$

С превеликим удовольствием, если Вы мне объясните, что значит неравенство имеет смысл и что значит неравенство не имеет смысла и как это можно применить к доказательству Вашего неравенства?

[Rubik]

arqady в сообщении #402529 писал(а):

С превеликим удовольствием, если Вы мне объясните, что значит неравенство имеет смысл и что значит неравенство не имеет смысла и как это можно применить к тому, что мы хотим доказать?

Имеет смысл это значит что обе части неравенства определены. Если Ваше условие не выполняется, то в знаменателе одной из дробей в левой части стоит ноль, поэтому выражение, стоящее в левой части, не определено.

arqady в сообщении #402529 писал(а):

Вот на него ответьте, пожалуйста. Да или нет?

К сожалению, я не знаю, как сравнивать неопределённые величины. Покажите пример: есть ли среди этих трёх высказываний правильное: $\tg\frac{\pi}2=\arcsin2$, $\tg\frac{\pi}2>\arcsin2$, $\tg\frac{\pi}2<\arcsin2$.

[arqady]

Rubik в сообщении #402533 писал(а):

arqady в сообщении #402529 писал(а):

С превеликим удовольствием, если Вы мне объясните, что значит неравенство имеет смысл и что значит неравенство не имеет смысла и как это можно применить к тому, что мы хотим доказать?

Имеет смысл это значит что обе части неравенства определены. Если Ваше условие не выполняется, то в знаменателе одной из дробей в левой части стоит ноль, поэтому выражение, стоящее в левой части, не определено.

Теперь, наверное, Вы и на мой вопрос ответите... Как это можно применить к доказательству нашего неравенства? Верно оно или нет в Вашей формулировке?

Rubik в сообщении #402533 писал(а):

Покажите пример: есть ли среди этих трёх высказываний правильное: $\tg\frac{\pi}2=\arcsin2$, $\tg\frac{\pi}2>\arcsin2$, $\tg\frac{\pi}2<\arcsin2$.

Вы же сами говорите, что это всё высказывания. Им некуда деваться. Каждое из них либо истинно, либо ложно...

[Mr. X]

Мне кажется, все же, содержательным уточнение этого неравенства в следующем направлении.

При фиксированном вещественном $\alpha$, найти инфимум выражения $(\frac{a}{b+c})^{\alpha}+(\frac{b}{c+a})^{\alpha}+(\frac{c}{a+b})^{\alpha}$ по всем $a, b, c >0$.

Отмечу ("хорошо известно"), что при $\alpha=1/2$ этот инфимум меньше $\sqrt{4,5}$.

[arqady]

Mr. X в сообщении #402634 писал(а):

Отмечу ("хорошо известно"), что при $\alpha=1/2$ этот инфимум меньше $\sqrt{4,5}$.

При $\alpha=1/2$ он просто равен $2$.
Здесь, кстати, имеется следующее забавное усиление.
Для неотрицательных $a$, $b$ и $c$ таких, что $ab+ac+bc\neq0$, докажите, что

$$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq2\sqrt{1+\frac{abc}{(a+b)(a+c)(b+c)}}$$

[Mr. X]

arqady в сообщении #402696 писал(а):

При $\alpha=1/2$ он просто равен $2$.

Это я тоже знал. :)

А чему равен этот инфимум при (всех) остальных $\alpha$ ?

[Rubik]

arqady в сообщении #402534 писал(а):

Теперь, наверное, Вы и на мой вопрос ответите... Как это можно применить к доказательству нашего неравенства? Верно оно или нет в Вашей формулировке?

Если $(a+b)(b+c)(c+a)=0$, то моё неравенство не верно, так же, как и обратное неравенство, поскольку левая часть не определена. Однако условие $(a+b)(b+c)(c+a)\neq0$, я считаю, писать не надо, поскольку подразумевается, что неравенство следует рассматривать только при допустимых значениях $a$, $b$, $c$.