Определение типа уравнения.

[Aleksandrito]

centra в сообщении #401698 писал(а):

а не решая, можно как-то определить тип данного уравнения?

задача учебная, и никакого отношения к прикладной математике не имеет.

я перерыла, наверное, половину (если не больше) всех книг, которые сущ-ют по урматам, но не смогла найти классификацию по типам для уравнений выше второго порядка ( написано : "Классификация ЛДУ с большим числом переменных почти аналогична.").на семинарах такое не рассматривалось, а ведь для уравнения второго порядка задача определения типа элементарна и решается в одну строчку. может все таки существет классификация для уравнений четвертого порядка, но я просто не могу ее найти? просто у меня ощущение, что если я принесу преподавателю предложенное решение, то он начнет говорить, что не надо изобретать велосипед, и в назидание даст еще какую-нибудь задачу, чего мне очень бы не хотелось

Можно определить и не решая.
Если вопрос только о классификации, то всё решается в одну строчку.
Исходя из утверждения: Что тип уравнений порядка выше 2 решается аналогично ур-ниям второго порядка, то это ур-ние параболическое (относительно кубической параболы - такак сводится подстановкой $U(x,t)_{t}=F(x,t)$) - к уравнению параболического типа.

-- 19 янв 2011, 20:06 --

К вопросу о классификации:
Вы уже и сами класифицировали, но если хотите повторю:
В общем смысле это линейное однородное дифференциальное уравнение четвертого порядка в частных производных.
Замена $U(x,t)_{t}=F(x,t)$ - сводит уравнение к уравнению третьего порядка.

-- 19 янв 2011, 20:10 --

centra в сообщении #401698 писал(а):

а не решая, можно как-то определить тип данного уравнения?

задача учебная, и никакого отношения к прикладной математике не имеет.

я перерыла, наверное, половину (если не больше) всех книг, которые сущ-ют по урматам, но не смогла найти классификацию по типам для уравнений выше второго порядка ( написано : "Классификация ЛДУ с большим числом переменных почти аналогична.").на семинарах такое не рассматривалось, а ведь для уравнения второго порядка задача определения типа элементарна и решается в одну строчку. может все таки существет классификация для уравнений четвертого порядка, но я просто не могу ее найти? просто у меня ощущение, что если я принесу преподавателю предложенное решение, то он начнет говорить, что не надо изобретать велосипед, и в назидание даст еще какую-нибудь задачу, чего мне очень бы не хотелось

В общем смысле класифицируется так:
Линейное однородное дифференциальное уравнение в частных производных четвёртого порядка.
Замена $U(x,t)_{t}=F(x,t)$ - сводит исходное уравнение к уравнению третьего порядка.

[centra]

оно элементарно классифицируется кроме вопроса о его гиперболичности, параболичности или эллиптичности. я умею классифицировать уравнения второго порядка - делаю это стандартно, выписывая коэффициенты, и рассчитывая некую величину $b^2 - ac$, а затем смотрю знак полученной величины. уравнения третьего порядка я уже не умею классифицировать, насколько понимаю, надо тоже выписать все коэффициенты и посчитать какую-то величину. мне непонятно какую. ее явный вид. ...или откуда можно его получить? ...или где прочитать?

[Aleksandrito]

centra в сообщении #401924 писал(а):

оно элементарно классифицируется кроме вопроса о его гиперболичности, параболичности или эллиптичности. я умею классифицировать уравнения второго порядка - делаю это стандартно, выписывая коэффициенты, и рассчитывая некую величину $b^2 - ac$, а затем смотрю знак полученной величины. уравнения третьего порядка я уже не умею классифицировать, насколько понимаю, надо тоже выписать все коэффициенты и посчитать какую-то величину. мне непонятно какую. ее явный вид. ...или откуда можно его получить? ...или где прочитать?

К сожалению об этом вопросе ничего не могу сказать кроме того, что это
Линейное однородное дифференциальное уравнение в частных производных четвёртого порядка.
Заменой с подстановкой $U(x,t)_{t}=F(x,t)$ - сводится к уравнению третьего порядка, которое по виду напоминает параболическое, но к сожалению для уравнений выше 2-ого порядка класификация определяется сложнее, как именно пока не нашёл.

[Gortaur]

centra
Обычно когда дают уравнение и просят определить его тип, дана классификация. Данное уравнение думаю в общем случае не сводится к уравнению второго порядка, для которых классификация хорошо известна. Поэтому у меня 2 предположения - либо у Вас опечатка в задании и там можно 2 раз проинтегировать, либо Вам была дана классификация уравнений 3го порядка. Иначе логика действа отсутствует.

[centra]

а если у нас дано какое-то ЛДУ, и мы его проитнегрировали несколько(!) раз и получили уравнение второго порядка, то тип исходного уравнения будет эквивалентен полученному?

а если не интегрировали, а сделали замену? тоже эквивалентность типов полученных уравнеий?

[Aleksandrito]

А вот этот вопрос я бы поднял:
Если мы сделали замену в каком то уравнении и свели его к уравнению определённого типа:
Например в полных дифференциалах. Было исходное уравнение, заменой и подстановкой мы преобразовали его в уравнение, например, Бернулли - то исходное уравнение - модифицированное уравнение Бернули;
Должно быть также и в случае с уравнениями в частных производных.
Но только вам это не поможет, в вашем случае уравнение не сводится к уравнению порядка ниже трёх.

-- 20 янв 2011, 05:06 --

А вообще класификация диф. ур-ний в частных производных второго порядка во многом условна и опирается на тот факт, что уравнение по виду напоминает уравнение той или иной кривой: эллипса, параболы, гиперболы.
Я думаю что класификация по критериям: То есть вид производных (частные полные),
линейность, однородность, порядок более обьективна. Подразделение на параболические, элиптические, гипрболические ур-ния пришло в математику ввиду первичности составления уравнений этих типов математиками (нпр. Ур-ния Лапласа, Колебания струны, Теплопроводности) и поэтому такая классификация сохраняется до сих пор.
С появлением дифференциальной геометрии математической физики и топологии эта классификация утратила актульность и первоочерёдность.
Думаю можее эту фразу повторить преподователю я будучи преподователем оценил бы её высоко.
Она показывает что вы интересуетесь предметом не в узком смысле.

[centra]

спасибо=)

(Оффтоп)

с годами люди устают и большинство преподавателей за 40 подходят к оценке знаний студента весьма формально - по типу есть ответ, нет ответа, но я попробую объяснить.

[Gortaur]

Aleksandrito
Оно не только напоминает вид кривой, но и характеристиками также идет совпадение.

[centra]

Оказывается, все достаточно просто. Чтобы определить тип уравнения выше второго порядка нужно:
Записать характеристическое уравнение, приравнять его к 0. Потом записать сопутствующую систему ОДУ и найти характеристики. Если характеристик нет - это эллиптический тип, если их количество равно порядку уравнения - гиперболический, если их количество меньше, чем порядок уравнения - параболический.

[Aleksandrito]

если вы имели ввиду такое характерестическое уравнение:
$k^2(k^2-1)=0;$
$D1=0-4 \cdot 1 \cdot 0 =0; \\ D2=0-4 \cdot 1 \cdot\ (-1) > 0;$
Для неполного уравнения 4-ой степени выражение дискриминанта не помню
По двум приведенным выражениям может быть как гиперболическое так и параболическое;

[Aleksandrito]

По общему определению Дискриминант:
$D=a_{0}^{2n-2}\prod_{i=1}^{n}_{i<k}(\alpha_{k}-\alpha_{i}) = \\ =1 (-1-0) (1-0) (1+1) (j-1) (j-0) (j+1) (-j-1) (-j-0) (-j+1) (-j-j)=-4j; \j= \sqrt{-1} $

То дискриминант - комплексное число с реальной частью равной нулю и исходное уравнение - параболическое.