Часто встречался с определением среднего значения функции на интервале
![$[a,b]$ $[a,b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/4/fe477a2781d275b4481790690fccd15f82.png)
как значения
![$\frac{\int_{a}^{b}f(x)dx}{b-a}$ $\frac{\int_{a}^{b}f(x)dx}{b-a}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/d/2/8d298d26eb19cb06cd18a9c16eac1e8882.png)
. Решил подумать, почему это определение такое удобное. И вот к чему пришел: наверное, одним из самых "удобных" способов определить среднее значение функции является обобщение среднего арифметического, а именно
![$\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{i=0}^{n} f(x_{i})}{n}$ $\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{i=0}^{n} f(x_{i})}{n}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/0/3/203f65e519390abb0bea643ca3b7e51d82.png)
, где
![$x_i$ $x_i$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/f/c/9fc20fb1d3825674c6a279cb0d5ca63682.png)
— точки разбиения интервала
![$[a,b]$ $[a,b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/4/fe477a2781d275b4481790690fccd15f82.png)
на n частей. Например, если взять равномерное разбиение, то получим
![$\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{i=0}^{n} f(\frac{a(n-i)+bi}{n})}{n}$ $\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{i=0}^{n} f(\frac{a(n-i)+bi}{n})}{n}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/6/e8661f6464b022dd222f93939ee7d8f382.png)
. Сходу доказать тождество
![$\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{i=0}^{n} f(\frac{a(n-i)+bi}{n})}{n}=\frac{\int_{a}^{b}f(x)dx}{b-a}$ $\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{i=0}^{n} f(\frac{a(n-i)+bi}{n})}{n}=\frac{\int_{a}^{b}f(x)dx}{b-a}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/a/9/da95aeeecbb5600f2bf18bc6c84c1a4082.png)
мне не удалось, поэтому я просто проверил его на компьютере на достаточно большом числе элементарных функций. И оно оказалось верным с большой точностью. Логично предположить, что тождество верно для всех функций (если функция "хорошая", разумеется, то бишь интеграл и сумма существуют). Осталось это доказать, как это сделать? Теперь хочу по аналогии попробовать обобщить среднее геометрическое и прочие на функции аналогичным образом. Спасибо!
P.S. Вообще, уверен что это что-то очень тривиальное и выводится где-нибудь в интегральном исчислении. Но я ничего об этом пока не знаю:)