Среднее значение функции

[Legioner93]

Часто встречался с определением среднего значения функции на интервале $[a,b]$ как значения $\frac{\int_{a}^{b}f(x)dx}{b-a}$. Решил подумать, почему это определение такое удобное. И вот к чему пришел: наверное, одним из самых "удобных" способов определить среднее значение функции является обобщение среднего арифметического, а именно $\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{i=0}^{n} f(x_{i})}{n}$, где $x_i$ — точки разбиения интервала $[a,b]$ на n частей. Например, если взять равномерное разбиение, то получим $\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{i=0}^{n} f(\frac{a(n-i)+bi}{n})}{n}$. Сходу доказать тождество $\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{i=0}^{n} f(\frac{a(n-i)+bi}{n})}{n}=\frac{\int_{a}^{b}f(x)dx}{b-a}$ мне не удалось, поэтому я просто проверил его на компьютере на достаточно большом числе элементарных функций. И оно оказалось верным с большой точностью. Логично предположить, что тождество верно для всех функций (если функция "хорошая", разумеется, то бишь интеграл и сумма существуют). Осталось это доказать, как это сделать? Теперь хочу по аналогии попробовать обобщить среднее геометрическое и прочие на функции аналогичным образом. Спасибо!
P.S. Вообще, уверен что это что-то очень тривиальное и выводится где-нибудь в интегральном исчислении. Но я ничего об этом пока не знаю:)

[TOTAL]

Legioner93 в сообщении #402054 писал(а):

я просто проверил его на компьютере на достаточно большом числе элементарных функций. И оно оказалось верным с большой точностью.

А теперь проверьте для функций, первообразные которых не можете найти.

[Legioner93]

Блин, до чего же я стормозил (всю ночь не спал). Да, спасибо, TOTAL!

[Hymilev]

Я всегда думал что такие определения дают из геометрических соображений рассуждая так среднее значение f(x) на [a,b] это сторона такого прямоугольника у которого одна сторона [a,b], а площадь такая же как и под кривой f(x) (c учетом знаков ), сооответственно среднее значение функции двух переменных в области это высота некоторого цилиндрического тела ( аналогичная)
Куда интереснее средние значения функций на кривых или поверхностях Тут можно определения давать из физических соображений например среднее значение функции на кривой (отношение двух криволинейных интегралов) это плотность которой должна обладать однородная кривая чтоб иметь такую же массу и т.д.

[Legioner93]

Вот что получил для среднего геометрического функции на $[a,b]$: $\lim_{n \to \infty}\sqrt[n] {\prod_{i=0}^{n}f(x_i)}=\exp{(\frac{\int_{a}^{b}\ln{f(x)}dx}{b-a})}$.

[Gortaur]

Legioner93
Первое среднее - это просто интегральная сумма Римана если ее удобнее расписать то же самое и про геометрическое среднее если прологарифмировать.
Теперь что до средних - вообще не факт что арифметическое/геометрическое являются лучшими. Например в теор вере, матожидание - это среднее значение функции, но там идет усреднение не равномерное (как в арифметическом), а кое-каким значениям больше присваивается, другим меньше - зависит от плотности (интеграл от которой обязан быть единицей)

[Mikhail Sokolov]

Legioner93
См. темы: среднее по Колмогорову, обобщенное среднее. Например, Г. Г. Харди, Дж. И. Литлвуд, Д. Пойа. Неравенства. Разделы 6.14-6.22.

[Legioner93]

Mikhail Sokolov
Спасибо за литературу!