Помогите, пожалуйста, решить предел!

[Vel]

Господа!
Помогите решить предел
$\lim\frac {2^x-3x+1}{x-1}$ при $x$ стремящимся к $1$.
Спасибо

[Falex]

$2\cdot \ln(2)-3$

[Vel]

Огромное спасибо!
Может быть ход решения подскажите? Хочется разобраться!

[nworm]

Применяется правило Лопиталя

[bot]

Ну зачем же правило Лопиталя? Тем более, что оно использует производную показательной функции, которая получается из замечательного предела. Не проще ли к этому пределу и свести?

$$\lim_{x\rightarrow 1} \frac{2^x-3x+1}{x-1} = \lim_{x\rightarrow 1} (2\frac{2^{x-1}-1}{x-1} - 3)=2\ln 2 - 3$$

[nworm]

Да, пожалуй, Вы правы.

Способ решения сильно зависит от времени, когда оно нужно

Если это математический анализ на первом курсе до изучения производных, тогда особенно разумно сводить к замечательному пределу

[RIP]

А по-моему, проще заметить, что надо найти производную $2^x-3x+1$ в точке 1. Это даже школьники должны уметь.

[незваный гость]

bot писал(а):

Ну зачем же правило Лопиталя? Тем более, что оно использует производную показательной функции, которая получается из замечательного предела.

Время разбрасывать камни и время собирать камни. Какая разница, как получается производная показательной функции? Если она уже есть, проще ей воспользоваться, и воспользоваться правилом Лопиталя. Никаких логических кругов этот метод не содержит. А что доказательство не кратчайшее в целом — так Бог с ним. Главное, что освоен общий метод, дающий локально-быстро результат.

[bot]

Как верно заметил RIP (сам я забыл отметить), что по сути вычисление этого предела и есть вычисление производной экспоненты. Применение правила Лопиталя в этой ситуации означает порочный круг.
К правилу Лопиталя, точнее к тому, что студенты начинают им пользоваться без разбора и механически, оставляя в стороне проверку условий его применимости, отношусь отрицательно. Универсальная палочка-выручалочка очень часто проигрывает другим способам, не говоря уже о том, что может давать сбой - в случаях, когда предела отношения производных нет, студент часто заявляет, что и исходного предела нет.

[незваный гость]

bot писал(а):

оставляя в стороне проверку условий его применимости
…
не говоря уже о том, что может давать сбой - в случаях, когда предела отношения производных нет, студент часто заявляет, что и исходного предела нет

Я считаю, что это один из дефектов обучения — когда студенты не понимают границ применимости метода. Это же замечательно, что можно как следует выпороть на правиле Лопиталя. Я, например, люблю гонять по области определения функции.

Что касается универсальных методов, то (в пределах области применимости) у них есть большое достоинство перед специальными. Их можно применять, не думая. Оставляя творческую работу на остальные части проблемы (которая часто не сводится к правилу Лопиталя или неравенству Коши-Буняковского).

А что касается порочного круга, то если приглядется, нет его. От доказательства никто не требует, чтобы оно не опиралось дважды на один и тот же факт. Не требуется и минимальное по полной длине доказательство. Да, вычисление производной сводится к замечательному пределу. Да, этот предел можно применить непосредственно. Ну и что? Это отменяет применимость правила Лопиталя? Или правильность вычисленной производной? Мы же не пытаемся обосновать замечательный предел через производную (это был бы порочный круг).

[bot]

Всё-таки следует различать, с какой целью считается предел. Тот, интересуется значением этого предела для своих надобностей, отличных от сдачи его преподавателю, может такими тонкостями не заморачиваться - ему ведь нужен ответ, а не доказательство. Правда, даже это сомнительно - можно получить и неверный ответ.

А вот что скажет препод, если принести ему пролопиталенными следующие пределы?

$$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{e^x - 1}{x}$$

$$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}$$

В случае, если производных ещё не проходили - это порочный круг. А даже если и прошли - любой препод поморщится и почти любой заставит вывести соответствующую формулу для производной, даже если предел будет слегка отличаться от замечательного:

$$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{e^{2x} - 1}{x}$$

$$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin 5x}{x}$$

Ну, а границы этого "слегка" наверно у разных преподов разные.