Длинная цепь переброшенная через блок!

[Faradey]

Длинная цепь масой М перекинутый через блок и может по нему двигаться без трения. Точно под блоком стоят весы, которых цепь касается обома концами. Цепь начинает двигаться и через некоторое время оказывается на весах. На какое наибольшее значение укажет стрелка весов в течение падение цепи?
Буду благодарен за помощь.

[ewert]

Условно считаем, что отрывается от весов левый конец; пусть $x$ -- его расстояние до весов (оно будет возрастать), $h$ -- расстояние от весов до блока, т.е. половина длины цепи (она потом сократится) и $\mu=\dfrac{M}{2h}$ -- линейная плотность. Если $v$ -- скорость падающего на весы участка, то сила давления есть $\dfrac{Mv^2}{2h}$ (лень объяснять). Максимальна она будет в самом конце, когда будет падать последний участок. Уравнение движения (до тех пор, пока ещё хоть что-то есть слева): $\mu(2h-x)\cdot x''(t)=\mu x\cdot g$, т.е. $x''(t)=\dfrac{gx}{2h-x}$. С формальной точки зрения это -- уравнение движения тела единичной массы под действием потенциальной силы, описанной в правой части уравнения. Поэтому если $v_1$ -- скорость в момент перехода левого конца через блок, то по закону сохранения энергии $\dfrac{v_1^2}{2}=\int_0^h\dfrac{gx}{2h-x}\,dx=\ldots$. Дальше цепь падает свободно, поэтому к найденному отсюда квадрату скорости надо добавить ещё $2gh$. Ну и собрать всё вместе.

Только всё это филькина грамота -- задача некорректна. После отрыва от блока левый конец полетит не вертикально вниз, а с вполне заметной горизонтальной составляющей вправо. Но составители задачки наверняка об этом даже и не задумывались.

[Faradey]

большое спасибо) єто задча с заочной олимпиаді мфти

[ewert]

Faradey в сообщении #401255 писал(а):

єто задча с заочной олимпиаді мфти

тогда извиняюсь

[Prorab]

Текущая олимпиада МФТИ - закрыто