Сопряжённые операторы. Задачки

[caxap]

Проверьте, пожалуйста. (Далее рассматриваются только вещественные евклидовы пространства. СС = самосопряжённый. Задачки буду постепенно публиковать.)

2. Известно, что в некотором неортогональном базисе матрица $A$ оператора $\mathcal A$ симметрическая.
а) Можно ли утверждать, что $\mathcal A$ СС?
б) Можно ли утверждать, что $\mathcal A$ не является СС?
в) Что можно утверждать, если базис ортогональный, но не ортонормированный?

а) Нет. В случае произвольного базиса $(\mathcal Ax,y)=(Ax)^\top G y=x^\top A^\top Gy=x^\top A Gy$, где $G$ -- матрица Грама для базисных векторов; $(x,\mathcal Ay)=x^\top G Ay$. Чтобы это выполнялось при всех $x,y$, должно быть $GA=AG$. Напр. при $G=\begin{pmatrix}1&\frac 12\\\frac12&1\end{pmatrix}$ и $A=\begin{pmatrix}2&2\\2&4\end{pmatrix}$ это не выполняется.
б) Нет. Пример: тождественный оператор $\mathcal I$.
в) Оператор может быть как неСС (напр. $G=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$, $A=\begin{pmatrix}2&2\\2&4\end{pmatrix}$; $GA\neq AG$), так и СС (напр. $\mathcal I$).

[caxap]

3. Линейный оператор $\mathcal A$, действующий в $n$-мерном линейном пространстве, имеет в некотором базисе симметрическую матрицу $A$. Докажите, что этот оператор имеет базис из собственных векторов, даже если лин. пространство не является евклидовым.

Докажем, что матрица $A$ подобная некоторой диагональной $D$.

Рассмотрим евклидово пространство $\mathbb R^n$ со стандартным ортонормированным базисом. Пусть $A$ -- матрица некоторого оператора в этом базисе. Тогда этот оператор является самосопряжённым. Тогда его матрица приводится в некотором базисе $b$ к диагональному виду $D$. Пусть матрица перехода из стандартного базиса в $b$ будет $P$, тогда $D=P^{-1}AP$.

Но тогда $\mathcal A$ в некотором базисе имеет матрицу $D$. А значит, диагональные элементы $D$ являются собственными значениями $\mathcal A$, а базис состоит из собственных векторов.

[ewert]

caxap в сообщении #399911 писал(а):

Докажем, что матрица подобная некоторой диагональной

Как-то длинновато. Просто наличие или отсутствие собственного базиса никак не связано с евклидовой структурой, и никто не в силах запретить добавить такую структуру искусственно, независимо от того, была она изначально или нет.

[caxap]

ewert
А можно добавить евклидову структуру так, чтобы исходный базис (в котором $A$) был ортонормированным?

-- 14 янв 2011, 17:48 --

7. В базисе $b$, состоящем из векторов $b_1=(1,1,1,1)$, $b_2=(1,1,1,0)$, $b_3=(1,1,0,0)$, $b_4=(1,0,0,0)$ линейного арифметического пространства $\mathbb R^4$, матрица оператора $\matchal A$ имеет вид

$$A=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&1&2&3\\3&4&1&2\\4&3&2&1\end{pmatrix}\,.$$

Найдите матрицу $A^*$ сопряжённого оператора $\mathcal A^*$ в том же базисе. Скалярное произведение в $\mathbb R^4$ стандартное.

$(\mathcal Ax,y)=x^\top A^\top G y=(x,\mathcal A^*y)=x^\top G A^*y$ при всех $x,y$, поэтому $A^*=G^{-1}A^\top G$ ($G$ -- матрица Грама для $b$).

(По числам)

$$G=(b_i\cdot b_j)_{i,j=1}^4=\begin{pmatrix}\sqrt 4&\sqrt 3&\sqrt 2& 1\\ \sqrt 3&\sqrt 3&\sqrt 2& 1\\ \sqrt 2&\sqrt 2&\sqrt 2& 1\\ 1&1&1& 1\end{pmatrix}$$

А обратная страшная получается. $G^{-1}A^\top G$ вообще жуть. Может я что-то не так делаю, ведь не могут учебную задачу делать с ответом на целую страницу?

[caxap]

caxap в сообщении #399923 писал(а):

(По числам)

Извиняюсь. Я (непонятно зачем) корни брал, когда скалярные произведения считал Без корней там всё хорошо получается

[caxap]

Последняя:

8. Докажите, что для любого евклидова пространства $\mathcal E$ отображение $\varphi:L(\mathcal E,\mathcal E)\to L(\mathcal E,\mathcal E)$ [$L(\mathcal E,\mathcal E)$ -- множество всех линейных отображений $\mathcal E\to\mathcal E$], сопоставляющее каждому линейному оператору его сопряжённый, является изоморфизмом пространства $L(\mathcal E,\mathcal E)$. Зависит ли этот изоморфизм от базиса в $\mathcal E$? Когда этот изоморфизм является тождественным отображением?

1) Выберем в $\mathcal E$ ортонормированный базис $b$. Тогда отображениям операторов $\mathcal A\mapsto\mathcal A^*$ будут соответствовать отображения их матриц $A\mapsto A^\top$. Но разные матрицы $A\neq B$ имеют разные транспонированные $A^\top\neq B^\top$ (инъекция) и каждая транспонированная матрица $A^\top$ имеет "оригинал" $A=A^{\top\top}$ (сюръекция).
2) Если оператор $\mathcal A$ имеет сопряжённый $\mathcal A^*$, то так будет в любом базисе (меняются только матрицы, операторы как были, так и будут). А значит и отображение $\varphi$ не будет зависеть от базиса.
3) $L(\mathcal E,\mathcal E)$ должно состоять только из самосопряжённых операторов. А вот как из этого получить условие на само $\mathcal E$ -- не знаю

[caxap]

8.3) Я что-то не могу придумать других $\mathcal E$, кроме $\{0\}$ и одномерного евклидова пространства (любая матрица $1\times 1$ равна своей транспонированной).

P. S. Остальные задачи всё ещё актуальны. Особенно интересуют задачи 8 и 3, остальные ладно -- фиг с ними (по-моему, там всё верно).

[ewert]

Да всё верно, только не всегда хорошо сформулировано. Скажем, в последней задаче: Вы забыли упомянуть, что это именно изоморфизм, т.е. что $(\alpha A+\beta B)^T=\alpha A^T+\beta B^T$, что вполне очевидно. А тогда уже не нужны никакие там инъекции-сюръекции: достаточно того, что это отображение не переводит ни одного оператора в ноль (что тоже очевидно), и тогда оно автоматически взаимно однозначно.

[caxap]

ewert
Спасибо.

То есть 8.3) тоже верно? Только в $\{0\}$ и 1-мерном Е.П. изоморфизм $\varphi$ будет тождественным?

[ewert]

caxap в сообщении #400618 писал(а):

Только в $\{0\}$ и 1-мерном Е.П. изоморфизм $\varphi$ будет тождественным?

Конечно.