Последняя:
8. Докажите, что для любого евклидова пространства
отображение
[
-- множество всех линейных отображений
], сопоставляющее каждому линейному оператору его сопряжённый, является изоморфизмом пространства
. Зависит ли этот изоморфизм от базиса в
? Когда этот изоморфизм является тождественным отображением?1) Выберем в

ортонормированный базис

. Тогда отображениям операторов

будут соответствовать отображения их матриц

. Но разные матрицы

имеют разные транспонированные

(инъекция) и каждая транспонированная матрица

имеет "оригинал"

(сюръекция).
2) Если оператор

имеет сопряжённый

, то так будет в любом базисе (меняются только матрицы, операторы как были, так и будут). А значит и отображение

не будет зависеть от базиса.
3)

должно состоять только из самосопряжённых операторов. А вот как из этого получить условие на само

-- не знаю
