Базовые определения в курсе матана

[Профессор Снэйп]

Не знаю, где как, а у нас в НГУ, по моему мнению, вот что плохо. Первокурсников учат, что для $A \subseteq \mathbb{R}$ число $a \in \mathbb{R}$ называется супремумом $A$, если $a$ является верхней гранью $A$ и для любого $\varepsilon > 0$ отрезок $[a-\varepsilon,a]$ содержит элементы $A$.

С одной стороны, оно, конечно, эквивалентно нормальному человеческому определению точной верхней грани ($a$ есть верхняя грань для $A$ и для любого $b$, являющегося верхней гранью для $A$, справедливо $b \geqslant a$). Но беда в том, что это дурацкое $\varepsilon$ у них потом на долгие годы застревает в мозгах и создаёт им кучу неудобств. Перечислю лишь некоторые.

1) Приходится давать отдельное определение для бесконечного супремума, в то время как нормальным способом всё проходит на единый манер.

2) Та же ерунда с $\sup \varnothing = -\infty$ и $\inf \varnothing = + \infty$. Если изначально отталкиваться от епсилонов, то эти соглашения выглядят довольно искусственно, в то время как при "порядковом" подходе указанные равенства возникают естественным образом.

3) Если мы начинаем преобразовывать множества, сохраняя порядок, то сумма при таких преобразованиях может трансформироваться довольно сложным образом. В связи с чем при доказательстве того, что супремум образа не больше образа супремума, начинается неприятная возня с эпсилонами. В то же время если определять супремум только в категориях порядка, то доказательства выглядят гораздо проще.

4) Когда в других предметах потом появляется номальное определение супремума, оно воспринимается с большим трудом, поскольку глаза не видят вбитых в голову раз и навсегда епсилонов и левых епсилон-окрестностей. В частности, для среднего второкурсника осознать, что наименьшее общее кратное натуральных чисел $p_1, \ldots, p_k$ --- это всего лишь супремум множества $\{ p_1, \ldots, p_k \}$ с порядком-отношением делимости --- бааальшая проблема и великий подвиг! Или, более насущно: для семейства множеств супремум этого семейства (относительно порядка по включению) равен объединению. С множествами-подмножествами всё-таки много приходится работать, вся математика на них основана

5) Начерта вообще пользоваться лишними сущностями без необходимости? Если можно дать определение только через порядок, зачем, всё равно используя этот порядок, привлекать ещё и сложение/вычитание? Уильям Оккам бы не одобрил

Были ещё какие-то замечания, но сейчас из головы вылетели. Вспомню --- допишу.

Далее, после супремумов-инфимумов... Начерта давать определение $\varepsilon$-окрестности? Оно не только не полезно, но, более того, вредно. Во-первых, непрерывность потом невозможно обобщить с метрических пространств на топологические, приходится давать новые определения и тратить время на привыкание к ним. Во-вторых, ладно бы эта возня с епсилонами и дельтами помогала бы хотя бы вначале, но ведь нет: она опять же лишь мешает, неоправданно усложняя доказательства!

Предлагаю вводить определения следующим образом:

Окрестностью (ну или базовой окрестностью, если хотим сохранить термин для позднейшего употребления в смысле "произвольный элемент фильтра окрестностей") точки $a \in \mathbb{R}$ называется всякий интервал $(b,c)$ такой, что $b < a < c$. Окрестностью точки $+\infty$ называется множество вида $(a,+\infty)$ для $a \in \mathbb{R}$. Число $a$ называется пределом последовательности $\{ x_n \}_{n \in \mathbb{N}}$, если для любой окрестности $U$ точки $a$ найдётся $N$ такое, что $x_n \in U$ для всех $n > N$ (или, что даже короче и нагляднее: $a = \lim_n x_n$, если любая окрестность $a$ содержит почти все члены последовательности, "почти все" в смысле "все за исключением конечного числа"). Число $a$ называется пределом функции в точке $x_0$, если любая окрестность точки $a$ содержит образ некоторой проколотой окрестности точки $x_0$. Ну и далее в том же духе, с тотальным запретом на епсилон-дельта язык

У меня, конечно, нет практики преподавания матана, но мне почему-то кажется, что с таким подходом всё станет проще и будет лучше восприниматься. По крайней мере, Демидович в этом плане хороший показатель: большинство задач из начала книги решаются куда проще и изящнее, если держать в голове только общее слово "окрестность" и ничего не знать про $\varepsilon$ и $\delta$.

Единственное, с чем, наверное, возникнет неудобство --- это понятие равномерной непрерывности. Но и тут, по ходу, можно прекрасно обойтись без епсилонов и дельт. Что-нибудь вроде следующего: функция $f$ равномерно непрерывна, если для любой окрестности нуля $U$ существует окрестность нуля $V$, такая что $f(x_0 + V) \subseteq f(x_0) + U$ для всех $x_0$ из области определения $f$.

-------------------------------------------

Короче ладно, что-то я чересчур полез в чужой огород много пишу про предмет, практики преподавания которого у меня, в общем-то, и нету. Будет интересно послушать профессионалов, если таковые пожелают высказаться.

[moscwicz]

Докажите в стиле ,который Вы предлагаете ( с этими инфимумами, окрестностями, не прибегая к последовательностям) такую теорему:

Пусть $f:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}$ -- непрерывная функция , такая, что $\|f(x)\|\to\infty$ as $\|x\|\to\infty$ then $f$ attains its minimum.
Вот доказательство на языке последовательностей. Пусть $\{x_n\}$ -- минимизирующая последовательность ($f(x_n)\to\inf$), в силу условий, она ограничена, поэтому из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. Предел этой подпоследовательности и есть минимум. Сомневаюсь, что у Вас получится проще.

И еще подумайте: зачем велась такая борьба за теорему Эберлейна-Шмульяна, а то куда как просто: ограниченное подмножества рефлексивного банахова пространства относительно слабо компактно, просто по теореме Тихонова и дело с концом.

[moscwicz]

мой первый пример, даже не очень удачен, там можно и без эпсилон-дельта легко обойтись Дело в другом

Профессор Снэйп в сообщении #400207 писал(а):

Ну и далее в том же духе, с тотальным запретом на епсилон-дельта язык

Профессор Снэйп в сообщении #400207 писал(а):

Число $a$ называется пределом последовательности $\{ x_n \}_{n \in \mathbb{N}}$, если для любой окрестности $U$ точки $a$ найдётся $N$ такое, что $x_n \in U$ для всех $n > N$ (или, что даже короче и нагляднее: $a = \lim_n x_n$, если любая окрестность $a$ содержит почти все члены последовательности, "почти в

в банаховых пространствах естественный базис окрестностей это шары, и когда Вы станете доказывать в конкретной залдаче, что последовательность имеет предел, Вам придется проверять, что все члены последовательности с какого-то номера лежат в шаре малого радиуса и Вы всеравно вскатитесь на язык епсилон-дельта

[RIP]

(Оффтоп)

moscwicz в сообщении #400226 писал(а):

Пусть $f:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}$ -- непрерывная функция , такая, что $\|f(x)\|\to\infty$ as $\|x\|\to\infty$ then $f$ attains its minimum.

Кстати, это неправда: $m=1$, $f(x)=x$. Наверно, имелось в виду $f(x)\to+\infty$.

[Профессор Снэйп]

moscwicz в сообщении #400240 писал(а):

в банаховых пространствах...

Ну, я вообще-то вёл речь не о банаховых пространствах на третьем курсе, а про первый семестр первого курса.

Ну да ладно, дело в другом. Думаю, что и в банаховых пространствах можно без епсилон-дельта легко обойтись. Первый свой "контрпример" Вы сами же и отвергли, так что я в него вчитываться не буду...

moscwicz в сообщении #400240 писал(а):

Вы всеравно вскатитесь на язык епсилон-дельта

Приведите конкретный пример. Только, прошу прощения; я функан давно учил, по именам теорем не помню. Так что, хотя бы вкратце, приведите доказательство, которое на языке епсилон-дельта гладкое, как конфетка, а в переложении на язык окрестностей неоправданно усложняется.

moscwicz в сообщении #400240 писал(а):

когда Вы станете доказывать в конкретной залдаче, что последовательность имеет предел, Вам придется проверять, что все члены последовательности с какого-то номера лежат в шаре малого радиуса и Вы всеравно вскатитесь на язык епсилон-дельта

Не факт. Первоначально, при определении окрестности, может, и придётся один-два раза использовать термин "шар" (надо же как-то в метрическом пространстве задать топологию, привязанную к метрике)... Но это не очень страшно. Главное, что когда от определения окрестности переходим к чему-то дальнейшему, необходимость работать напрямую с радиусами шаров наверняка пропадает. Непустое пересечение двух открытых шаров содержит шар --- это, по-видимому, всё, что реально потребуется. Ну а тут просто неравенство треугольника...

-- Сб янв 15, 2011 08:38:34 --

Я предполагаю, откуда такая большая популярность у языка епсилон-дельта. В анализе многое основано на интуиции: дескать, вот "пошевелим" чуть-чуть точку, отодвинем её ненамного от первоначального положения, тогда и её образ относительно непрерывного отображения тоже сдвинется на чуть-чуть... А что значит пошевелим? Значит, отодвинем её на малое расстояние $\delta$, при этом образ сдвинется не более чем на наперёд заданное малое $\varepsilon$... Боюсь, что это всё вчерашний день. Даже не прошлый, а позапрошлый век!

[Профессор Снэйп]

RIP в сообщении #400247 писал(а):

moscwicz в сообщении #400226 писал(а):

Пусть $f:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}$ -- непрерывная функция , такая, что $\|f(x)\|\to\infty$ as $\|x\|\to\infty$ then $f$ attains its minimum.

Кстати, это неправда: $m=1$, $f(x)=x$. Наверно, имелось в виду $f(x)\to+\infty$.

Или функция предполагается ограниченной снизу, или ищется не минимум функции, а минимум её модуля. Неважно...

Короче: в условии фактически сказано, что функция непрерывна как функция из $\mathbb{R}^m \cup \{ \infty \}$ в $\mathbb{R} \cup \{ + \infty \}$, с бесконечным значением на бесконечности. Значит, для любой окрестности $U \subset \mathbb{R}$ точки $+ \infty$ найдётся (открытая) окрестность $V \subseteq \mathbb{R}^m$ точки $\infty$ такая, что $f(V) \subseteq U$. Выберем $U = (a, +\infty)$ так, чтобы $f(\mathbb{R}^m) \not\subseteq U$. Тогда $V \neq \mathbb{R}^m$ и $\mathbb{R}^m \setminus V$ --- компакт, на котором $f$ достигнет своего минимума.

То, что непрерывная функция, отображающая компакт в $\mathbb{R}$, достигает минимума и максимума --- общая топологическая теорема, ни с какими епсилон-дельтами не связанная. Нужно лишь показать, что в $\mathbb{R}^m$ дополнение к открытой окрестности точки $\infty$ компактно.

Ну а тут, естественно, вопрос: как определять окрестности в $\mathbb{R}^m$. Если тем же способом, что и при $m = 1$, то, видимо, через топологию произведения, ведь на $\mathbb{R}$ топология уже задана. Отдельно нужно определить базовую окрестность бесконечно удалённой точки как дополнение к произведению отрезков $[a_1,b_1] \times \ldots \times [a_m,b_m]$ .

Ну и при таких раскладах надо показать, что множество $[a_1,b_1] \times \ldots \times [a_m,b_m]$ компактно в $\mathbb{R}^m$. Так как произведение компактов компактно, достаточно рассмотреть случай $m = 1$. Ну а тут --- аксиома Кантора.

[Padawan]

Профессор Снэйп
Может тогда сразу первокурсникам общую топологию рассказывать, чтоб потом не повторятся? А $\mathbb R$ -- как частный случай.

Докажите без $\varepsilon-\delta$, что 1) $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$ 2) $\lim\limits_{x\to 0} a^x=1$

[moscwicz]

RIP в сообщении #400247 писал(а):

(Оффтоп)

moscwicz в сообщении #400226 писал(а):

Пусть $f:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}$ -- непрерывная функция , такая, что $\|f(x)\|\to\infty$ as $\|x\|\to\infty$ then $f$ attains its minimum.

Кстати, это неправда: $m=1$, $f(x)=x$. Наверно, имелось в виду $f(x)\to+\infty$.

это да

Профессор Снэйп в сообщении #400248 писал(а):

moscwicz в сообщении #400240 wrote:
Вы всеравно вскатитесь на язык епсилон-дельта

Приведите конкретный пример. Только, прошу прощения; я функан давно учил, по именам теорем не помню. Так что, хотя бы вкратце, приведите доказательство, которое на языке епсилон-дельта гладкое, как конфетка, а в переложении на язык окрестностей неоправданно усложняется.

moscwicz в сообщении #400240 wrote:
когда Вы станете доказывать в конкретной залдаче, что последовательность имеет предел, Вам придется проверять, что все члены последовательности с какого-то номера лежат в шаре малого радиуса и Вы всеравно вскатитесь на язык епсилон-дельта

Не факт. Первоначально, при определении окрестности, может, и придётся один-два раза использовать термин "шар" (надо же как-то в метрическом пространстве задать топологию, привязанную к метрике)... Но это не очень страшно. Главное, что когда от определения окрестности переходим к чему-то дальнейшему, необходимость работать напрямую с радиусами шаров наверняка пропадает.

докажите принцип сжатых отображений без шаров и эпсилон-дельта
(Если $f:X\to X$ -- сжатие полного метрического пространства $d(f(x),f(y))\le qd(x,y),\quad q<1$ то существует и единственно $\xi$ такое что $f(\xi)=\xi$ стандарное доказательство: проверим, что последовательность $x_{k+1}=f(x_k)$ фундаментальна)

[Munin]

Padawan в сообщении #400257 писал(а):

Может тогда сразу первокурсникам общую топологию рассказывать

Между прочим, стоило бы. Хотя бы не её саму, а про неё. Чтобы они знали, что все эти примочки на $\mathbb{R}$ - они не сами по себе, а существуют в некотором более широком контексте. Почему-то на алгебре так делается, а на анализе - нет.

Вообще, в очень многих курсах сильно не хватает "заглядывания вперёд", которому можно было бы посвятить поллекции за семестр, но настроить мозги куда более правильно.

[caxap]

(Мнение студента)

А Зорич разве не так делает? Там почти сразу даётся широкое определение предела по базе (= базис фильтра) и примерно в том же стиле, что писал Профессор Снэйп: то есть теоремы, определения и прочее даётся на общем языке окрестностей (и элементов базы), а потом уже в качестве частного случая приводится на $\varepsilon-\delta$-языке. Например,

Цитата:

Число $A\in\mathbb R$ называется пределом функции $f:X\to\mathbb R$ по базе $\mathcal B$, если для любой окрестности $V(A)$ точки $A$ найдётся элемент $B\in\mathcal B$ базы, обрз которого $f(B)$ содержится в $V(A)$.

Я не знаю, как бы я это воспринял, если бы учебник был моим первым учебником по матану. Но после Фихтенгольца я его читал взахлёб. Такой стиль изложения мне очень понравился.

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #400207 писал(а):

1) Приходится давать отдельное определение для бесконечного супремума, в то время как нормальным способом всё проходит на единый манер.

А его так и так придётся дать отдельно. Бесконечность-то -- это ведь не число, как ни крути. И если верхних границ нет вообще -- как можно говорить о наименьшей из них?...

Действительно, есть два стандартных определения супремума (о которых Вы и говорите): 1) это точная верхняя граница и 2) это наименьшая верхняя граница. Какую из формулировок выбрать за основную -- это исключительно дело вкуса. Просто в любом курсе с самого начала доказывается их эквивалентность, после чего обе они должны твёрдо сидеть в памяти, и дальше уже не важно -- какая из них вначале считалась основной, а какая -- теоремой.

С окрестностями ситуация немного более деликатная. Действительно, довольно неудобно заводить много разных вариантов определения предела: конечного, бесконечного, в точке, на бесконечности и потом ещё разных комбинаций. Тем не менее -- есть достаточно веские основания поступать именно так.

1). (как уже упоминалось) В любой конкретной ситуации всё равно придётся переходить на язык эпсилон-дельт. В частности: любой нетривиальный вычислительный алгоритм формализуется именно на этом языке.
2). Перед пределом функции идёт всё-таки предел последовательности (причём принципиально идёт -- это нужно хотя бы для сознательного определения вещественных чисел, да и вообще понятие последовательности само по себе принципиально). А для последовательностей переход на топологический язык довольно неестественен.
3). Односторонние пределы тоже требуют введения своей собственной топологии, что опять-таки изяществом не блещет.

Ну и ещё чего-нибудь, наверное, можно накопать. Главное же: топология для подавляющего большинства нематематиков просто не нужна. А вот считать им -- нужно. Поэтому и определять им пределы нужно именно на "числовом" языке. Потом -- да, потом -- очень полезно объединить все эти определения общим понятием "окрестности". Но ни в коем случае не давая формально-топологического определения окрестности: это бесполезно, всё равно мгновенно из головы вылетит, а значит -- вредно.

Если же Вы всё-таки хотите придать учебному процессу бОльшую логическую стройность, то я предлагаю действовать радикальнее и начать с начальной школы. Ну зачем, скажем, первоклашек учить какому-то там счёту?... Надо сразу давать им вещественные числа! Или лучше комплексные -- ещё круче выйдет...

[Munin]

Вообще-то начала общей алгебры, понятие о группах и полях, надо давать не позже класса 4-6 средней школы. Разумеется, не в стиле аксиом и теорем, воспринимать который они ещё не готовы.

[Хорхе]

Я вот тут уже комментировал на близкую тему. К сожалению, наши студенты все хуже и хуже. Поэтому приходится им рассказывать про "сколь угодно малые" $\varepsilon$ и $n$, "зависящее от $\varepsilon$". Хорошему студенту такие "плохие" определения не помеха, а плохому студенту реально помогают.

-- Сб янв 15, 2011 15:17:12 --

Munin в сообщении #400319 писал(а):

Вообще-то начала общей алгебры, понятие о группах и полях, надо давать не позже класса 4-6 средней школы. Разумеется, не в стиле аксиом и теорем, воспринимать который они ещё не готовы.

Ну и вступление в топологию, теорию категорий, когомологии и т.д. Только кто об этом будет рассказывать?

Я думаю, ничего такого не надо. Их бы дроби складывать научить и квадратные уравнения решать (без всяких формул: выделением - всегда! - полного квадрата; кстати, дроби можно, но, конечно, не нужно тоже складывать по "формуле").

[ewert]

Хорхе в сообщении #400348 писал(а):

- всегда! -

зачем?

[gris]

То есть устно, по теореме Виета решить $x^2-5x+6=0$ низзя? И надо выделять полный квадрат?