Найти ортогональную матрицу с рациональными элементами

[mkot]

Всё проще.
Нужно вспомнить что такое преобразование Кэли и теорему:
Пусть $A$ -- кососимметрическое преобразование унитарного пространства $L$. Тогда преобразования $A+E$, $A-E$ обратимы, преобразование

$$U=(A-E)(A+E)^{-1}$$

унитарно, не имеет собственных значений, равных единице, и

$$A = -(U+E)(U-E)^{-1}$$

. Обратно, если $U$ -- унитарное преобразование и 1 не является его собственным значением, то преобразование $A= -(U+E)(U-E)^{-1}$ -- кососимметрическое и $U=(A-E)(A+E)^{-1}$.

Таким образом пусть $U$ -- ортогональная матрица, которую нужно найти.
Произвольная кососимметрическая матрица запишется в виде:

$$ A= \left( \begin{array}{rrr} 0 & a & b \\ -a & 0 &c \\ -b & -c & 0 \end{array} \right) $$

Откуда

$$ U= \left( \begin{array}{rrr} -1 & a & b \\ -a & -1 & c \\ -b & -c & -1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} 1 & a & b \\ -a & 1 &c \\ -b & -c & 1 \end{array} \right)^{-1} =\ldots $$

Откуда записывается система на $a,b,c$.

Рекомендую Основы линейной алгебры Мальцева.

[TOTAL]

mkot писал(а):

Всё проще.

Где это "проще", чем система

$$x^2+y^2+z^2=1$$

$$27x+74y-6z=0$$

?

[mkot]

TOTAL писал(а):

mkot писал(а):

Всё проще.

Где это "проще", чем система

$$x^2+y^2+z^2=1$$

$$27x+74y-6z=0$$

?

Когда это писалось я ещё не видел этого текста.

[berant]

Все! Проблема решена! Спасибо всем, кто высказывал свое мысли по данному вопросу. Особое спасибо Вам, mkot. И за рекомендацию Мальцева спасибо, хорошая книга.

[mkot]

berant писал(а):

Все! Проблема решена!

berant, если вы решали следуя моему совету, то скажите как вы решили полученную систему. Потому что, я её решил с помощью maple, ответ получился простой. Но когда попытался решать в ручную, завяз в расчётах.

[berant]

Отдельно приравнял 79 и знаменатель, и отдельно числители, получил 4 уравнения, которые решились весьма легко и в рациональных числах: a=2, b=7, c=5.

[Bars]

Я попробовал решить задачу другим способом.
Обозначим искомую матрицу так:

$$ A=\begin{pmatrix} \frac{27}{79} & \frac{74}{79} & -\frac{6}{79} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{pmatrix}. $$

Так как $ A $ ортогональная, то $ A^{-1}=A^T $.
Пусть $ |A|=1 $ (есть всего две возможности: $ |A|=\pm1 $ - с силу ортогональтости)
Найдем $ A^{-1} $ и приравняем к $ A^T $:

$$ A^{-1}=\frac{adj(A)}{|A|}=\begin{pmatrix} \phantom{-} \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix} & \phantom{-}\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} \frac{74}{79} & -\frac{6}{79} \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix} & \phantom{-}\begin{vmatrix} \frac{27}{79} & -\frac{6}{79} \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} \frac{27}{79} & \frac{74}{79} \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} \\ \phantom{-}\begin{vmatrix} \frac{74}{79} & -\frac{6}{79} \\ a_2 & a_3 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} \frac{27}{79} & -\frac{6}{79} \\ a_1 & a_3 \end{vmatrix} & \phantom{-}\begin{vmatrix} \frac{27}{79} & \frac{74}{79} \\ a_1 & a_2 \end{vmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{27}{79} & a_1 & b_1 \\ \frac{74}{79} & a_2 & b_2 \\ -\frac{6}{79} & a_3 & b_3 \\ \end{pmatrix}=A^T $$

или

$$ \begin{pmatrix} \phantom{-}79\begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix} & -79\begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix} & \phantom{-}79\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} \\ -(74 b_3 + 6 b_2) & 27 b_3 + 6 b_1 & -(27 b_2 - 74 b_1) \\ 74 a_3 + 6 a_2 & -(27 a_3 + 6 a_1) & 27 a_2 - 74 a_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 27 & 79 a_1 & 79 b_1 \\ 74 & 79 a_2 & 79 b_2 \\ -6 & 79 a_3 & 79 b_3 \\ \end{pmatrix} $$

Теперь приравниваем некоторые элементы матриц левой и правой частей и получаем 6 линейных уравнения, из которых находим $ a_1, a_2, \dots, b_3 $.
Правдя там системы ужасные получаются, я не стал их решать

[Padawan]

Bars
Вы забыли присоединённую матрицу $adj(A)$ транспонировать.

[Bars]

Цитата:

Таким образом пусть $U$ -- ортогональная матрица, которую нужно найти.

У ортогональной матрицы собственными значениями являются только единицы. А $ U $, которое мы собираемся найти заведомо не имеет таких собственных значений.

[ewert]

Bars в сообщении #399301 писал(а):

У ортогональной матрицы собственными значениями являются только единицы.

Вовсе не обязательно -- этому условию (вкупе с ортогональностью, вообще с нормальностью) отвечает только единичная матрица.

[Bars]

Padawan в сообщении #399151 писал(а):

Вы забыли присоединённую матрицу транспонировать.

И правда забыл. А своё задание с вектором $ ( \frac13, \frac23, \frac23 ) $ я почему-то сделал правильно... И там я тоже $ adj(A) $ не транспонировал...
Только в ответе у меня получилась $ A $, которая $ A^T = A $

-- Чт янв 13, 2011 18:03:58 --

ewert в сообщении #399304 писал(а):

Вовсе не обязательно -- этому условию (вкупе с ортогональностью, вообще с нормальностью) отвечает только единичная матрица

А это $ \left|\begin{pmatrix} \frac13 & \frac23 & \frac23 \\ \frac23 & -\frac23 & \frac13 \\ \frac23 & \frac13 & -\frac23 \end{pmatrix}-E\right|=0 $ ?

[Bars]

Я вот, что придумал.
Дан вектор $ (a_1, a_2, a_3) $. Запишем искомую матрицу в виде. $ \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ a_2 & \alpha & \beta \\ a_3 & \beta & \gamma \end{pmatrix} $. Запишем уравнения, выражающие попарную ортогональность строк. $ \left\{ \begin{aligned} a_1 a_2 + a_2 \alpha + a_3 \beta = 0 \qquad (1) \\ a_1 a_3 + a_3 \beta + a_3 \gamma = 0 \qquad (2) \\ a_2 a_3 + \alpha \beta + \beta \gamma = 0 \qquad (3) \\ \end{aligned} \right. $
Из (1) следует, что $ \alpha = - \frac{a_3}{a_2} \beta - a_1 $.
Из (2) следует, что $ \gamma = - \frac{a_2}{a_3} \beta - a_1 $.
Подставляем $ \alpha $ и $ \gamma $ в (3). Получается квадратное уравнение:
$ \beta^2( - \frac{a_3}{a_2} - \frac{a_2}{a_3} ) - 2 \beta a_1 + a_2 a_3 = 0$. Дискриминант $ D = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 1 $. Находим какой-нибудь корень $ \beta = - \frac{ ( a_1 \pm 1 ) a_2 a_3 }{ a_2^2 + a_3^2 } $. Вот и всё. Только я не знаю, как доказать (если это правда), что векторы этим способом получаются всегда длины 1 . Могу только сказать, что на практике у меня происходит именно так .

Пример. $ ( a_1, a_2, a_3 ) = ( \frac{ 27 }{ 79 }, \frac{ 74 }{ 79 }, -\frac{ 6 }{ 79 } ) $.
Решение. $ \beta = \frac{ ( \frac{ 27 }{ 79 } + 1 ) 74 \cdot 6 }{ 74^2 + 6^2 } = \frac{ 111 }{ 1027 } $, $ \alpha = \frac{ 6 }{ 74 } \cdot \frac{ 111 }{ 1027 } - \frac{ 27 }{ 79 } = - \frac{ 342 }{ 1027 } $, $ \gamma = \frac{ 74 }{ 6 } \cdot \frac{ 111 }{ 1027 } - \frac{ 27 }{ 79 } = \frac{ 1018 }{ 1027 } $.
Ответ. $ \begin{pmatrix} \frac{ 27 }{ 79 } & \frac{ 74 }{ 79 } & -\frac{ 6 }{ 79 } \\ \frac{ 74 }{ 79 } & - \frac{ 342 }{ 1027 } & \frac{ 111 }{ 1027 } \\ -\frac{ 6 }{ 79 } & \frac{ 111 }{ 1027 } & \frac{ 1018 }{ 1027 } \end{pmatrix} $.