Найти ортогональную матрицу с рациональными элементами

[berant]

Дан вектор а с рациональными координатами. Найти ортогональную матрицу А с рациональными элементами, для которой а был бы первой строчкой.
a $ = ( \frac{27}{79}, \frac{74}{79}, \frac{-6}{79}) $.

[gris]

а что есть ортогональная матрица? Каким условиям удовлетворяют её строки и столбцы?

[berant]

Ортогональная матрица - матрица, у которой обратная совпадает с транспонированной, или $A*A^T = E$

Добавлено спустя 3 минуты 6 секунд:

Ну и отсюда, строки и столбцы - ортонормированные векторы (скалярное произведение векторов равно 0, скалярный квадрат равен 1).

[gris]

Если взять 6 неизвестных (вторую и третью строки), то получим здоровенную систему уравнений.
Надо посмотреть, легко ли она решается, да ещё в рациональных числах...

[berant]

Ну это да))) Вот тока решается она очень сложно, и в уравнениях присутствуют квадраты, что, вообще говоря, дает иррациональные корни.

[gris]

может тогда попробовать через подобие блочно-диагональной матрице? один блок просто 1, а другой - квадратная ортогональная с синусами и косинусами.

[ewert]

давайте я наобум ляпну (решения я не знаю): посмотрите чего-нибудь насчёт матриц Хаусхолдера (отражений). А вдруг поможет?

[Really]

berant в сообщении #179118 писал(а):

Ну это да))) Вот тока решается она очень сложно, и в уравнениях присутствуют квадраты, что, вообще говоря, дает иррациональные корни.

Это слишком сложно. Проще тогда до базиса дополнить ортами $(e_i)_j=\delta_{ij}$ и Грам-Шмидтом... Только вот от корней это не избавляет. Вообще есть большие сомнения, что это
возможно. От условия нормировки ведь никак не уйти. Надо подумать над примером...

[berant]

Да, Грам-Шмидт от корней не избавляет...

[ewert]

ну я дополню себя. Совершенно не уверен, что это поможет, но, если мне не отшибает память (а может и отшибать) -- отражения Хаусхолдера устроены так, что вроде и рациональность сохраняют...

[berant]

ewert, хорошо, почитаю про этого Хаусхолдера...

[Really]

ewert в сообщении #179126 писал(а):

ну я дополню себя. Совершенно не уверен, что это поможет, но, если мне не отшибает память (а может и отшибать) -- отражения Хаусхолдера устроены так, что вроде и рациональность сохраняют...

Смотря что вы имеете в виду. Матрица Хаусхолдера построенная по
исходному вектору $u$ действительно будет рациональной, но ее
строка не будет совпадать с исходным вектором. А если строить
искомую матрицу в виде матрицы Хаусхолдера, то тоже не получится
избавиться от корней....

[ewert]

я лишь предлагаю вариант подхода. Я ж заранее извинился, что решения не знаю.

[TOTAL]

Короче, надо решить в рациональных числах систему

$$x^2+y^2+z^2=1$$

$$27x+74y-6z=0$$

Кто-нибудь умеет решать?

[berant]

По-моему, подход с решением системы 5ти уравнений в рациональных числах - это слишком в лоб, и лично я такую систему решить не могу. Неужели нет какого-то другого способа...