Упрощение результата разложения в ряд Фурье

[Selius]

Раскладывал $ f(x) = \sin 2x $ в ряд Фурье по косинусам на $ [0; \pi] $.

Коэффициент $ a_n $ получился равным:
$ \frac{ (1 - (-1)^n) \cdot 4 }{\pi (2 - n) (2 + n)} $

Но такой вид почему-то не устраивает преподавателя, причём выяснить по какой причине мне не удалось.
Прошу помощи: можно ли здесь что-то упростить? Или может я в чём-то ошибся?

[Joker_vD]

Мне приходит в голову только: $a_n = 0$ при четных $n$, $a_n = \frac{8}{\pi(4-n^2)}$ при нечетных $n$.

[Selius]

Ну это да, но всё равно ведь под общую сумму придётся записывать, так что скорее нужно что-то, подходящее для всех $ n $.

Но, в любом случае, спасибо за ответ. Возможно, у кого-нибудь ещё есть варианты?

Вариант того, что преподаватель был не в духе не исключается, но всё-таки хотелось бы быть уверенным, что у меня всё правильно, когда снова пойду к нему. :)

Добавлено позже:
Хм, почему-то сразу не подумал: ведь то, что некоторые элементы суммы будут нулями сумме не помешает. :)
Так что, спасибо, Joker_vD.

[sup]

Может быть проблема в том, что Ваше выражение для $a_n$ не определено при $n=2$.

[Dan B-Yallay]

$$\begin{align*} a_n &=\dfrac 1 {\pi}\int_0^{\pi}\sin (2x)\cos(nx)dx=\dfrac 1 {\pi}\int_0^{\pi}\dfrac {\sin (n+2)x -\sin(n-2)x}{2}dx\\ & =\dfrac 1 {2\pi }\Big(\dfrac {-\cos(n+2)\pi}{n+2}+\dfrac{\cos(n-2)\pi}{(n-2)} \Big)\\ &=\dfrac 1 {2\pi}\dfrac{(1-(-1)^n)4}{(n+2)(n-2)} \qquad n \ne 2 \end{align*}$$

Если нигде не проврался.

ЗЫ. Уже знаю что проврался.

[Selius]

sup в сообщении #399965 писал(а):

Может быть проблема в том, что Ваше выражение для $a_n$ не определено при $n=2$.

Действительно... А что обычно делают в таких случаях, как записывают это?

-- Сб янв 15, 2011 01:08:22 --

Dan B-Yallay
Спасибо, но с самим разложением в ряд проблем не возникло.
Проблема именно в форме записи ответа, так сказать.

[Dan B-Yallay]

Selius в сообщении #399972 писал(а):

Действительно... А что обычно делают в таких случаях, как записывают это?

Пишут:
$a_n= .... , n \ne 2$
$a_n=..., n=2$

[Selius]

Мне сейчас подсказали, что можно вообще записать известную формулу двойного угла, что:
$ \sin 2 x = 2 \sin x \cos x $
и это и выглядит как ряд Фурье, остальные члены равны 0.

-- Сб янв 15, 2011 01:54:32 --

Посчитав интеграл отдельно, определил, что $ a_n $ при $ n = 2 $ равно $ - \frac{1}{4 \pi} \cos 4 x $.

То есть, если я выберу этот вариант записи ответа, мне придётся записать ряд как-то так?
$ f(x) = \frac{8}{3 \pi} \cos x - \frac{1}{4 \pi} \cos 4x + \sum\limits_{n = 3}^\infty \frac{8}{\pi (2 - n) (2 + n)} $
Или всё-таки это не нужно? Что-то я слегка запутался.

[Selius]

Selius в сообщении #399984 писал(а):

$ f(x) = \frac{8}{3 \pi} \cos x - \frac{1}{4 \pi} \cos 4x + \sum\limits_{n = 3}^\infty \frac{8}{\pi (2 - n) (2 + n)} $

Ошибся, вот так:
$ f(x) = \frac{8}{3 \pi} \cos x - \frac{1}{4 \pi} \cos 4x \cos 2x + \sum\limits_{n = 3}^\infty \frac{8 \cos n x}{\pi (2 - n) (2 + n)} $

[ewert]

Selius в сообщении #399972 писал(а):

... А что обычно делают в таких случаях, как записывают это?

Это вопрос вообще-то (с точки зрения преподавания) деликатный.

Говоря формально: если где выплыло типа $\cos\pi k$ (или даже, не приведи господь, $\sin\pi k$) -- то пущай так и остаётся. Машина -- она железная, она как-нибудь разберётся.

Говоря неформально: меня как преподавателя два последних варианта тоже искренне раздражают. Хотя я понимаю, конечно, что то же $\cos\pi k$ при подстановке в какой машинный пакет выйдет, скорее всего, куда эффективнее, чем $(-1)^k$. Но -- раздражает, чего уж тут поделаешь.

[Selius]

ewert в сообщении #400037 писал(а):

Говоря неформально: меня как преподавателя два последних варианта тоже искренне раздражают.

Уточните, пожалуйста, какие именно два варианта раздражают? Не совсем понял из текста сообщения.

[ewert]

Оба раздражают, когда не заменены на общепринятые $(-1)^k$ и на, соотв., просто $0$. А вот как к этому я отношусь -- зависит от ситуации. Если вижу, что человек искренне это вывел -- то снисходительно (ну разве что чуть-чуть придерусь). Если же он явно и тупо содрал с некоего Маткада (в то время как от него требовалось честно проявить свои знания) -- тогда несколько суровее.

[Someone]

Selius в сообщении #399984 писал(а):

Посчитав интеграл отдельно, определил, что $ a_n $ при $ n = 2 $ равно $ - \frac{1}{4 \pi} \cos 4 x $.

Неправильно, никакого $x$ тут не должно быть.

Selius в сообщении #400032 писал(а):

Selius в сообщении #399984 писал(а):

$ f(x) = \frac{8}{3 \pi} \cos x - \frac{1}{4 \pi} \cos 4x + \sum\limits_{n = 3}^\infty \frac{8}{\pi (2 - n) (2 + n)} $

Ошибся, вот так:
$ f(x) = \frac{8}{3 \pi} \cos x - \frac{1}{4 \pi} \cos 4x \cos 2x + \sum\limits_{n = 3}^\infty \frac{8 \cos n x}{\pi (2 - n) (2 + n)} $

Оба неправильные. У Вас ведь $n$ должно быть нечётным, а Вы суммируете по всем - и нечётным, и чётным.

[Selius]

Спасибо, Someone!
Я знатно затупил.

Someone в сообщении #400073 писал(а):

Неправильно, никакого $x$ тут не должно быть.

Не знаю почему не досчитал интеграл, 0 там будет.

Someone в сообщении #400073 писал(а):

Оба неправильные. У Вас ведь $n$ должно быть нечётным, а Вы суммируете по всем - и нечётным, и чётным.

И это тоже правда...

Переделал так:
$ f(x) = \frac{8}{3 \pi} \cos x + \sum\limits_{n = 3}^\infty \frac{(1 - (-1)^n) \cdot 4 \cos n x}{\pi (2 - n) (2 + n)} $

[Someone]

Selius в сообщении #400215 писал(а):

Переделал так:
$ f(x) = \frac{8}{3 \pi} \cos x + \sum\limits_{n = 3}^\infty \frac{(1 - (-1)^n) \cdot 4 \cos n x}{\pi (2 - n) (2 + n)} $

Во-первых, нет никакой нужды выделять первый член отдельным слагаемым.
Во-вторых, следует записать сумму так, чтобы в неё входили только слагаемые с нечётным $n$, а нулевые члены не путались под ногами.