Оператор, действующий на аргумент функции.

[Circiter]

Здравствуйте. Накануне у меня вскрылось нездоровое влечение к параметрическим операторам, действующим на аргумент функции, к которой они применяются. Например, пусть $A_t$ - оператор, параметризованный некоторым преобразованием $t$. Также имеется функция $f(\cdot)$, не знаю насколько произвольная. Требуется, чтобы выполнялось $A_t f(x)=f(tx)$.

Существуют ли такие построения? Или же эта задача совсем лишена смысла? Интересует всё -- алгебраические свойства $A$, достаточные свойства $f$, корректность такого вот грубого аксиоматического задания оператора, ну и т.д. Очень благодарю за ответы.

[caxap]

Circiter в сообщении #399169 писал(а):

Существуют ли такие построения?

$A$ -- это просто функция двух аргументов: числа и функции, а возвращает она другую функцию. Напр. $A\colon\mathbb R\times \mathbb R^\mathbb R\to \mathbb R^\mathbb R$

(Оффтоп)

Более наглядно это выглядит в нотации Хаскеля: $A\colon \mathbb R\to (\mathbb R\to \mathbb R)\to (\mathbb R\to \mathbb R)$

То есть $A(t,f)(x)=f(tx)$.

[ewert]

Circiter в сообщении #399169 писал(а):

Существуют ли такие построения?

Существуют, вот Вы же сделали такое построение. С одним уточнением: функции должны быть заданы на всём линейном пространстве, иначе понадобятся дополнительные оговорки.

[moscwicz]

Существует большая наука под названием "Функциональные уравнения" и большая наука под названием "Функционально-дифференциальные уравнения" в этих науках и рассматриваются операторы такого вида

[Portnov]

Оператор такой называется оператором внутренней суперпозиции.

[Circiter]

2Portnov
Да, это кажись оно, спасибо.

[Nxx]

Существует и является линейным оператором.

Если оператор задан

$$U_k[f(x)]=f(kx)$$

То его (бесконечная) преобразующая матрица

$$U_k=\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & . & 0 & . \\ 0 & k^1 & 0 & . & 0 & . \\ 0 & 0 & k^2 & . & 0 & . \\ . & . & . & . & . & . \\ 0 & 0 & 0 & . & k^n & . \\ . & . & . & . & . & . \end{array} \right)$$

Результат получается умножением матрицы на функцию.

$$f(k x)= U_kf(x)= f(0)+\frac {f'(0)}{1!} k x+ \frac{f''(0)}{2!} k^2 x^2+\frac{f^{(3)}(0)}{3!} k^3 x^3+ \cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!} k^n x^n +\cdots.$$

Вчера ответил на тот же самый вопрос на английском форуме:
http://math.stackexchange.com/questions ... -fkx#17185

[moscwicz]

Nxx в сообщении #399684 писал(а):

Существует и является линейным оператором.

Если оператор задан

$$U_k[f(x)]=f(kx)$$

То его (бесконечная) преобразующая матрица

$$U_k=\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & . & 0 & . \\ 0 & k^1 & 0 & . & 0 & . \\ 0 & 0 & k^2 & . & 0 & . \\ . & . & . & . & . & . \\ 0 & 0 & 0 & . & k^n & . \\ . & . & . & . & . & . \end{array} \right)$$

Результат получается умножением матрицы на функцию.

$$f(k x)= U_kf(x)= f(0)+\frac {f'(0)}{1!} k x+ \frac{f''(0)}{2!} k^2 x^2+\frac{f^{(3)}(0)}{3!} k^3 x^3+ \cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!} k^n x^n +\cdots.$$

Странный опус. Зачем была нарисована эта матрица? Какую информацию она несет ?. Непонятно.
То ли Nxx считатет, что у каждого линейного оператора должна быть матрица то ли он убежден, что все функции бесконечно дифференцируемы, а может он думает, что операция $f(x)\mapsto f(kx)$ определена только на множестве аналитических функций, трудно сказать.

Nxx в сообщении #399684 писал(а):

Вчера ответил на тот же самый вопрос на английском форуме:
http://math.stackexchange.com/questions ... -fkx#17185

а здесь Nxx зачем-то решил продемонстрировать как он умеет писать русские фразы английскими словами

[Circiter]

2Nxx
Да, вы меня порадовали. Вот так всегда, только что-нибудь придумаешь -- а оно уже вдоль и поперек объезжено. :)

2moscwicz
Но это все-равно была очень полезная информация для меня. Особенно про линейность и про то, что для аналитических (разлагающихся вон в тот вот ряд) функций всё вроде-бы корректно определяется.

Цитата:

То ли Nxx считатет, что у каждого линейного оператора должна быть матрица

А разве это не так?

Кстати, а как такой оператор внутренней суперпозиции используется? У меня идея такого оператора возникла в контексте решения одного интересного класса нелинейных рекуррентных соотношений, но я не знаю что с этим оператором делают другие...

[moscwicz]

Circiter в сообщении #399768 писал(а):

Но это все-равно была очень полезная информация для меня

не, ну это очень приятно, что информация для Вас была полезной. Просто забавно, что ни Вы, ни Nxx даже не понимаете, что чтобы говорить о линейности оператора, надо для начала линейные пространства задать , на которых этот оператор действует. А то что там сейчас написано, это просто некоторые значки бессмысленные.

[Circiter]

2moscwicz
Мне видите ли что надо. Даже не знаю какой пример привести... Ну вот, возьмем в качестве $f$ экспоненту, а что, хорошая функция; и пусть она будет на комплексных числах браться. В качестве $t$ можно взять просто (умножение на) число, годится и действительное $t\in\mathbb{R}$. Вот мне интересно, что можно сказать о $A_t\mathrm{e}^x=\mathrm{e}^{tx}$?

Мне не обязательно найти какой-то там явный вид $A$, мне просто важна сама принципиальная возможность существования такого оператора (в его линейности, в данном случае, я просто не могу заставить себя не сомневаться). То есть, интересует вопрос, всегда-ли будет иметь решение это равенство если смотреть на него как на функциональное уравнение?

P.S.: И все-таки, как этот оператор обычно используют? Где посмотреть?

[ewert]

Circiter в сообщении #399795 писал(а):

интересует вопрос, всегда-ли будет иметь решение это равенство

Не будет. Никакое равенство никогда не имеет решения.

[Bulinator]

Circiter в сообщении #399795 писал(а):

что можно сказать о $A_t\mathrm{e}^x=\mathrm{e}^{tx}$?

Ну, например, что это оператор дилатации пространства на котором задана Ваша экспонента.

-- Пт янв 14, 2011 14:25:28 --

Circiter в сообщении #399795 писал(а):

в его линейности, в данном случае, я просто не могу заставить себя не сомневаться)

Просто проверьте выполняется ли условие линейности
$A(\alpha x+\beta y)=\alpha A(x)+\beta A(y),\quad \alpha, \beta\in\mathbb{R}$
А что у Вас $x$ и $y$?

[Portnov]

Circiter в сообщении #399795 писал(а):

P.S.: И все-таки, как этот оператор обычно используют? Где посмотреть?

Используют, как выше уже упоминали, в теории функционально-дифференциальных уравнений.
Например, часто рассматривается этот оператор с функцией t следующего вида: $t(x) = x - \tau(x)$, где $\tau(x)$ — какая-нибудь хорошая (например, гладкая) неотрицательная функция; два наиболее хорошо исследованных случая — когда $\tau$ представляет собой константу, и когда это периодическая функция. Дифференциальные уравнения, включающие такой оператор, называются дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом (общий вид — что-то типа $y'(x) = F(x, y(x), y(t(x)))$). Всплывают такие уравнения, насколько я понимаю, чаще всего в экономических задачах. Из литературы по этой теме можно посмотреть, например, работы А.Д. Мышкиса.

[Circiter]

2Portnov
Ещё раз спасибо, в том числе за ссылку.

2Bulinator

Цитата:

Просто проверьте выполняется ли условие линейности

Честно говоря, мне это свойство вообще не нужно. Но что-то там с линейностью действительно не так, проблема в вынесении скаляра за оператор.

Цитата:

А что у Вас $x$ и $y$?

Ну раз речь про оператор, то, очевидно, функции.