Сопряженное пространство и полилинейные формы

[karlicos]

Добрый день. Завтра экзамен по линейной алгебре, и хотелось бы кое-что понять.
Пусть E - линейное пространство(ЛП) размерностью n над полем K. Как известно, линейная форма - линейное отображение из E в K. Тогда ЛП всех линейных форм на E - обозначается E* и называется сопряженным пространством. Так вот не совсем понятно - как это E* можно себе представить? E - вполне очевидно, например пусть у нас есть ЛП векторов (x, y) с обычным базисом (1; 0) и (0; 1). Можно себе это представить как координатную плоскость, например. А как тогда будет выглядеть ЛП E*? В чем его смысл?

И еще - про полилинейные формы(ПЛФ). ПЛФ - функция $ U(x_1 \dots x_p, y_1 \dots y_q) $ , где $x_1 \dots x_p \in E$, $y_1 \dots y_q \in E*$ ,принимающая значения из поля K и линейная по каждому из аргументов. Пару (p, q) называют ее валентностью. Так вот, не совсем понятно, как их себе представить.
Вот примеры из учебника - ПЛФ валентностью (0, 0) - скаляр из поля K. ну вроде логично, хотя не ясно, какие значения он будет принимать.
ПЛФ валентностью (1, 0) - обычная линейная форма, это понятно.
ПЛФ валентностью (0, 1) - линейная форма $ E* \rightarrow K $. Цитата: "Ввиду наличия естественного изоморфизма между E**(второе сопряженное ЛП) и E, такую форму можно отождествить с вектором x". Непонятно - ну можно, ну и что это означает?
ПЛФ валентностью (2, 0) - билинейная форма. Если верить английской википедии, это, например, скалярное произведение. Вроде понятно.
Опять же, если верить английской википедии, ПЛФ валентностью (2, 1) - векторное произведение(видимо, модуль). Вот тут уже не совсем ясно - первая цифра 2 в валентности означает, наверное, что на вход поступает два вектора. А что означает единица?

В общем объясните, пожалуйста, очень уж хочется понять(желательно на уровне 1 курса). Заранее спасибо.

[Null]

На выход идет 1 вектор.

[karlicos]

Null в сообщении #399352 писал(а):

На выход идет 1 вектор.

Так по определению ПЛФ, на выход идет не вектор а элемент поля K. То есть скаляр.

[Dan B-Yallay]

$E^*$ будет таким же ЛВП что и $E$ той же размерности $n$. Работает это все таким образом:

$$x \in E, x^*\in E^*: x^*(x)= x^*_1\cdot x_1+x^*_2\cdot x_2...+x^*_n\cdot x_n$$

$x=(x_1, x_2, ...x_n), x_i \in K \qquad x^*=(x^*_1, x^*_2, ...x^*_n), x^*_i \in K$

Доказательство этого факта практически в любой книге по линейной алгебре

[karlicos]

Dan B-Yallay в сообщении #399388 писал(а):

$E^*$ будет таким же ЛВП что и $E$ той же размерности $n$. Работает это все таким образом:

$$x \in E, x^*\in E^*: x^*(x)= x^*_1\cdot x_1+x^*_2\cdot x_2...+x^*_n\cdot x_n$$

$x=(x_1, x_2, ...x_n), x_i \in K \qquad x^*=(x^*_1, x^*_2, ...x^*_n), x^*_i \in K$

Доказательство этого факта практически в любой книге по линейной алгебре

Я понимаю про размерность, я не понимаю сам смысл вводить это пространство.

[Dan B-Yallay]

Mножество линейных функций отображающих $E$ в скалярное поле надо как-то обозначать, верно?
А если при этом указанное множество еще и обладает всеми свойствами ЛВП, то это само по себе представляет некоторый интерес...

Важность линейных функций я думаю не надо объяснять?

[karlicos]

Dan B-Yallay в сообщении #399400 писал(а):

Mножество линейных функций отображающих $E$ в скалярное поле надо как-то обозначать, верно?
А если при этом указанное множество еще и обладает всеми свойствами ЛВП, то это само по себе представляет некоторый интерес...

Важность линейных функций я думаю не надо объяснять?

Спасибо, ясно. То есть именно поэтому в ПЛФ используется сопряженное пространство.

А вот этот пример тогда:

Цитата:

ПЛФ валентностью (2, 1) - векторное произведение(видимо, модуль). Вот тут уже не совсем ясно - первая цифра 2 в валентности означает, наверное, что на вход поступает два вектора. А что означает единица?

, не могли бы пояснить?

[Dan B-Yallay]

Это означает что полилинейная форма (2,1) есть линейная функция на пространстве $E\times E \times E^*$ (Кстати, тоже ЛВП). Она принимает на вход два вектора из $E$ и один вектор из $E^*$ и "выплевывает" число из поля $K$.

[karlicos]

Dan B-Yallay в сообщении #399413 писал(а):

Это означает что полилинейная форма (2,1) есть линейная функция на пространстве $E\times E \times E^*$ (Кстати, тоже ЛВП). Она принимает на вход два вектора из $E$ и один вектор из $E^*$ и "выплевывает" число из поля $K$.

Ну так, казалось бы, векторное произведение принимает два вектора и все. Зачем вектор из $E^*$?

[Dan B-Yallay]

Поправлюсь. Цитата приведенная вами неверно трактует обозначение (2,1) как скалярное произведение над $E$
Согласно вашему же определению ПЛФ $U(x_1... x_p, y_1...y_q), \quad x_i \in E, y_j \in E^*$ имеет валентность (p,q)

То есть $U$ принимает $q$ векторов из $E$ и $p$ векторов из $E^*$ и затем выдает число.

[karlicos]

Dan B-Yallay в сообщении #399423 писал(а):

Поправлюсь. Цитата приведенная вами неверно трактует обозначение (2,1) как скалярное произведение над $E$
Согласно вашему же определению ПЛФ $U(x_1... x_p, y_1...y_q), \quad x_i \in E, y_j \in E^*$ имеет валентность (p,q)

То есть $U$ принимает $q$ векторов из $E$ и $p$ векторов из $E^*$ выдает число.

Нет, я писал что у скалярного валентность (2, 0). А у векторного (2, 1)(или это неправда?). Просто хочется какой-нибудь практический пример формы (2, 1) или (1, 2), в общем где $p \ge 1$ и $q \ge 1$.

[Dan B-Yallay]

karlicos в сообщении #399432 писал(а):

Нет, я писал что у скалярного валентность (2, 0). А у векторного (2, 1)(или это неправда?).

Конечно это неправда. Разве векторное произведение отображает пару векторов в скаляр?

[karlicos]

Dan B-Yallay в сообщении #399442 писал(а):

karlicos в сообщении #399432 писал(а):

Нет, я писал что у скалярного валентность (2, 0). А у векторного (2, 1)(или это неправда?).

Конечно это неправда. Разве векторное произведение отображает пару векторов в скаляр?

Модуль векторного произведения - скаляр. Но может я там что-то неправильно понял. А можно тогда пример где-то используемой, не абстрактной ПЛФ валентности (2, 1)?

[Joker_vD]

Валентности (2,1) — это которая берет два вектора, линейную форму и выдает скаляр, я правильно понял?

[Dan B-Yallay]

karlicos в сообщении #399432 писал(а):

Просто хочется какой-нибудь практический пример формы (2, 1) или (1, 2), в общем где $p \ge 1$ и $q \ge 1$

Очень далекий от линейной алгебры, но наглядный пример. Пока на время забудьте про скалярное произведение. Представьте $E$ как однотипные товары в магазине (гречку). $E^*$- продавцы. Вы приносите товар $x\in E$ продавцу $y\in E^*$ - он вам выдает цену, т.е. число. Больше товара - больше цена. То есть каждый продавец может трактоваться как функция из товаров в числа.

Далее, представим, что продавцы в магазине $E$ разного размера. Чем больше продавец, тем он больше " заряжает цену". Тогда можно мешок гречки представить как функцию: подсунув разным продавцам этот мешок мы получим разные числа-цены.

-- Чт янв 13, 2011 10:04:22 --

Далее, взяв мешки из разных магазинов, мы получи пару $(x_1, x_2) \in E\times E$. Как нам получить из них число? Хватаем пару $y_1, y_2$ продавцов из $E^*\times E^*$ и организуем им встречу с мешками в некоем месте под названием Форма. То есть получается что функция из $E\times E$ это элемент принадлежащий $ E^*\times E^*$. И наоборот, имея двух продавцов можно получить число/цену путем предъявления им пары мешков с товаром.

Форма валентности (2,0) в приведенной трактовке будет как бы 2 пустых лота куда можно ставить мешки с гречкой (и только их). Форма валентности (0,2) - это тоже 2 места, но на них можно ставить только продавцов. Форма (1,1) - одно место только для гречки, а другое - только для продавцов.