Контининтуальные множества

[Dan B-Yallay]

Не хотелось бы повторять в третий раз тезис о наивности изначального вопроса: ТС спрашивает о "различных континуальностях", какие к черту метрика и плотность? А если Вы цепляетесь именно к словам "расстояние между точками" то в Канторовом множестве существуют соседние точки и причем расстояние между ними ненулевое. А на действительной прямой даже невозможно указать соседнню точку, не говоря уж про расстояние между ними. Или Вы беретесь утверждать обратное?

-- Ср янв 12, 2011 17:48:07 --

(Оффтоп)

Виктор Викторов в сообщении #399124 писал(а):

Если речь пошла про нигде не плотность, то уместно вспомнить, что множество рациональных чисел всюду плотно на числовой прямой и нигде не плотно на плоскости.

Надо же, а я и не "догадывался"...

[Виктор Викторов]

Виктор Викторов в сообщении #399072 писал(а):

Dan B-Yallay в сообщении #399063 писал(а):

Наверное в том, что между любыми точками Канторового множества ненулевое расстояние?

В метрическом пространстве расстояние между двумя различными точками всегда ненулевое. Если залезть в псевдометрическое пространство, то там, конечно, возможно нулевое расстояние между различными точками.

Dan B-Yallay в сообщении #399118 писал(а):

На действительной прямой $\mathbb R$ для любых различными чисел найдется как минимум одно между ними. Вы можете то же самое сказать про числа $\dfrac 1 3$ и $\dfrac 2 3$ из Канторова множества?
PS. Я мог бы прибегнуть к понятию "нигде не плотное множество", если бы был уверен, что ТС имеет представление о таковом.

Виктор Викторов в сообщении #399124 писал(а):

«Нигде не плотноcть» и расстояние вещи разные. Множество может быть нигде не плотным и без всякой метрики. А вот для расстояния нужна метрика.
Если речь пошла про нигде не плотность, то уместно вспомнить, что множество рациональных чисел всюду плотно на числовой прямой и нигде не плотно на плоскости.

Dan B-Yallay в сообщении #399127 писал(а):

Не хотелось бы повторять в третий раз тезис о наивности изначального вопроса: ТС спрашивает о "различных континуальностях", какие к черту метрика и плотность? А если Вы цепляетесь именно к словам "расстояние между точками" то в Канторовом множестве существуют соседние точки и причем расстояние между ними ненулевое. А на действительной прямой даже невозможно указать соседнню точку. Или Вы беретесь утверждать обратное?

-- Ср янв 12, 2011 17:48:07 --

Виктор Викторов в сообщении #399124 писал(а):

Если речь пошла про нигде не плотность, то уместно вспомнить, что множество рациональных чисел всюду плотно на числовой прямой и нигде не плотно на плоскости.

Надо же, а я и не "догадывался"...

Вот Ваши высказывания и мои комментарии к ним. Тезисы о «наивности изначального вопроса» и чёрте понятны. Остальное с трудом. Юмор вряд ли к месту.

[Dan B-Yallay]

Виктор Викторов писал(а):

Тезисы о «наивности изначального вопроса» и чёрте понятны. Остальное с трудом.

А я и пытался (судя по всему безуспешно) донести, что все остальное надо понимать через призму указанных тезисов.

(Оффтоп)

Кто хотел понять - понял. Кто хотел просто прицепиться - сделал. Каждому свое.

[Виктор Викторов]

Dan B-Yallay в сообщении #399132 писал(а):

Виктор Викторов писал(а):

Тезисы о «наивности изначального вопроса» и чёрте понятны. Остальное с трудом.

А я и пытался (судя по всему безуспешно) донести, что все остальное надо понимать через призму указанных тезисов.

Я с этим категорически не могу согласиться.

(Оффтоп)

Dan B-Yallay в сообщении #399132 писал(а):

Кто хотел понять - понял.

Что?

Dan B-Yallay в сообщении #399132 писал(а):

Кто хотел просто прицепиться - сделал.

К чему?

Dan B-Yallay в сообщении #399132 писал(а):

Можно расходиться.

Куда?

[Dan B-Yallay]

Виктор Викторов в сообщении #399133 писал(а):

Я с этим категорически не могу согласиться.

Ваше право.

(Оффтоп)

Виктор Викторов в сообщении #399133 писал(а):

Что?

что все остальное надо понимать через призму указанных тезисов.

Виктор Викторов сообщении #399133 писал(а):

К чему?

К столбу естественно.

Виктор Викторов сообщении #399133 писал(а):

Куда?

Я - смотреть телевизор, а вы - куда пожелаете. Или вам подсказать куда?

[Someone]

Виктор Викторов в сообщении #399057 писал(а):

Someone в сообщении #399021 писал(а):

... мне встречалось более общее определение: топологическое пространство называется дискретным, если в нём пересечение любого семейства открытых множеств является открытым ...

Someone!
А Вы не помните где Вы видели такое определение? И ещё один вопрос: автор темы, говоря «дикретные элементы» не имел в виду топологию, а есть ли определение дискретного множества без топологии?

П.С.Александров, “О понятии пространства в топологии”, УМН, 2:1(17) (1947), 5–57, стр. 39.

Что имел в виду автор темы, знает только он сам, да и то не наверняка, судя по его формулировкам. Термин "дискретный" встречается не только в топологии (например, в теории вероятностей; я встречал словосочетание "дискретная группа" в смысле группы, не снабжённой никакой топологией; есть "дискретная математика").

[Профессор Снэйп]

Someone в сообщении #399182 писал(а):

Что имел в виду автор темы, знает только он сам...

Похоже на то...

Континуальность --- свойство множества самого по себе, дискретность --- свойство какой-то дополнительной структуры, заданной на этом множестве (топология, порядок и т. п.) Совершенно разные вещи!

Ладно, непонятно, как континуальное множество может быть дискретным. А как счётное может не быть дискретным, понятно? Вот, например, $\mathbb{Q}$. Вроде счётное. Если брать его с естественным порядком, никакой дискретности не наблюдается

[Виктор Викторов]

Someone в сообщении #399182 писал(а):

П.С.Александров, “О понятии пространства в топологии”, УМН, 2:1(17) (1947), 5–57, стр. 39.

Someone!
Спасибо за ссылку. Я нашёл эту статью в моей библиотеке в книге П. С. Александров «Теория функций действительного переменного и теория топологических пространств» Москва «Наука» 1978 год Страница 280. Конечно, со ссылкой на тот самый том, о котором Вы пишете.

Профессор Снэйп в сообщении #399349 писал(а):

... дискретность --- свойство какой-то дополнительной структуры, заданной на этом множестве (топология, порядок и т. п.) ...

Именно так я это и понимал. Но вспомнил, что сочетание «дискретное множество» видел, а определения найти не могу. Максимум, что вспомнилось дискретное пространство в топологии.