Контининтуальные множества

[Tarinal]

Мы можем рассматривать набор дискретных элементов и заявлять, что их не просто счетное число, а континиуум? Но ведь точек в отрезке точек континиуум, и нет такого понятия, как точка следующая за данной, нет и все!
А в нашей модели точками могут служить дискретные объекты, и мы можем выбрать две рядом расположенные "точки"
Так это разные контининтуальности или к дискретным объектам нельзя применять это понятие?

[caxap]

Знаете про теорему Цермело?

[Tarinal]

caxap в сообщении #398956 писал(а):

Знаете про теорему Цермело?

нет

[caxap]

Верещагин, Шень "Начала теории множеств"

(Суть)

Любое множество (в том числе множество всех точек отрезка $[0,1]$) можно вполне упорядочить. А каждый элемент $x$ вполне упорядоченного множества (кроме наибольшего) имеет непосредственно следующий за ним элемент $y$ (то есть между $x$ и $y$ других элементов нет) -- это следствие определения в.у.м. То есть получили "дискретное" множество мощности континуум.

[Tarinal]

caxap в сообщении #398961 писал(а):

Верещагин, Шень "Начала теории множеств"

(Суть)

Любое множество (в том числе множество всех точек отрезка $[0,1]$) можно вполне упорядочить. А каждый элемент $x$ вполне упорядоченного множества (кроме наибольшего) имеет непосредственно следующий за ним элемент $y$ (то есть между $x$ и $y$ других элементов нет) -- это следствие определения в.у.м. То есть получили "дискретное" множество мощности континуум.

Спасиб

[Joker_vD]

Еще бы вы объяснили, что такое "дискретный элемент". Обычно дискретным называют множество, когда оно не более чем счетно.

[Someone]

Топологическое пространство называется дискретным, если в нём каждое одноточечное подмножество открыто (мне встречалось более общее определение: топологическое пространство называется дискретным, если в нём пересечение любого семейства открытых множеств является открытым; если такое пространство удовлетворяет аксиоме отделимости $T_1$, то в нём каждое одноточечное подмножество будет открытым).
Дискретное пространство в первом смысле является метризуемым с очень простой метрикой: расстояние между любыми двумя различными точками равно $1$. Мощность такого пространства может быть любой.

[Dan B-Yallay]

Tarinal в сообщении #398947 писал(а):

Мы можем рассматривать набор дискретных элементов и заявлять, что их не просто счетное число, а континиуум? ...

Cantor set?

[Виктор Викторов]

Someone в сообщении #399021 писал(а):

... мне встречалось более общее определение: топологическое пространство называется дискретным, если в нём пересечение любого семейства открытых множеств является открытым ...

Someone!
А Вы не помните где Вы видели такое определение? И ещё один вопрос: автор темы, говоря «дикретные элементы» не имел в виду топологию, а есть ли определение дискретного множества без топологии?

[Gortaur]

И в чем же дискретность множества Кантора?

[Dan B-Yallay]

Наверное в том, что между любыми точками Канторового множества ненулевое расстояние?

PS. TC задал вопрос в наивной форме, вот и попробовал ответить в том же духе.

[Виктор Викторов]

Dan B-Yallay в сообщении #399063 писал(а):

Наверное в том, что между любыми точками Канторового множества ненулевое расстояние?

В метрическом пространстве расстояние между двумя различными точками всегда ненулевое. Если залезть в псевдометрическое пространство, то там, конечно, возможно нулевое расстояние между различными точками.

[Gortaur]

Наверное имелось ввиду, что для любой точки найдется отличная, такая что между ними нет третьей.

[Dan B-Yallay]

Виктор Викторов в сообщении #399072 писал(а):

Dan B-Yallay в сообщении #399063 писал(а):

Наверное в том, что между любыми точками Канторового множества ненулевое расстояние?

В метрическом пространстве расстояние между двумя различными точками всегда ненулевое. Если залезть в псевдометрическое пространство, то там, конечно, возможно нулевое расстояние между различными точками.

Повторюсь:

Dan B-Yallay в сообщении #399063 писал(а):

PS. TC задал вопрос в наивной форме, вот и попробовал ответить в том же духе.

На действительной прямой $\mathbb R$ для любых различными чисел найдется как минимум одно между ними. Вы можете то же самое сказать про числа $\dfrac 1 3$ и $\dfrac 2 3$ из Канторова множества?
PS. Я мог бы прибегнуть к понятию "нигде не плотное множество", если бы был уверен, что ТС имеет представление о таковом.

[Виктор Викторов]

«Нигде не плотноcть» и расстояние вещи разные. Множество может быть нигде не плотным и без всякой метрики. А вот для расстояния нужна метрика.

Если речь пошла про нигде не плотность, то уместно вспомнить, что множество рациональных чисел всюду плотно на числовой прямой и нигде не плотно на плоскости.