Нелинейное уравнение с арксинусом

[tolybas]

Друзья, добрый вечер! Подскажите, пожалуйста, возможно ли в принципе решить аналитически уравнение следующего вида:

$\left(\dfrac{2}{3}\alpha\left(1-x^2\right)-x\right)\sqrt{1-x^2}=\arcsin x$,

$\alpha$ - некий вещественный коэффициент. Заменив функцией $y=\arcsin x$, пришел к дифференциальному уравнению

$\dfrac{2}{3}\alpha\left(1-x^2\right)-x=y\dfrac{dy}{dx}$,

после чего получил неполное уравнение 6-й степени. Вот у меня и возник вопрос, можно ли вообще его решить аналитически или только численно?
Спасибо

[Padawan]

tolybas в сообщении #398875 писал(а):

$\left(\dfrac{2}{3}\alpha\left(1-x^2\right)-x\right)\sqrt{1-x^2}=\arcsin x$,

$\alpha$ - некий вещественный коэффициент. Заменив функцией $y=\arcsin x$, пришел к дифференциальному уравнению

$\dfrac{2}{3}\alpha\left(1-x^2\right)-x=y\dfrac{dy}{dx}$,

Совершенно бессмысленное действие!

[Gortaur]

Мне вот интересно, как у него уравнение 6ой степени потом вылезло?

[tolybas]

Дифур решил относительно y, от него перешел обратно к арксинусу, подставил вместо арксинуса исходное уравнение, вот и получилась шестая степень.
Но с тем, что замена алгебраического уравнения дифуром бессмыслена я полностью согласен. Просто ничего более умного в голову не приходит. В правилах же написано писать по возможности свои попытки. Вот я и написал, исходя скорее из того, чтобы здесь не думали, что я хочу, чтоб мне его решили. Мне нужна только подсказка.

[Gortaur]

Обязательно аналитически? посмотрели бы на графики, на то сколько корней.

[tolybas]

Это я уже делал. Корень всегда один (по крайней мере при различных альфа у меня всегда так получалось). Область определения: от [0; 1]

[Gortaur]

откуда вообще такое? численно не подойдет?

[tolybas]

Gortaur
Представьте тор, бублик, с радиусом осевой окружности $R $ и радиусом самой "колбаски", толщиной кольца, $r$. Разрежем тор сверху цилиндром радиуса $R+\gamma$ ( или $R+r-\gamma$, я уже точно не помню, но это не принципиально) так, чтобы объемы получившихся полуколец были равны. Далее я пришел к уравнению:

$\left(\dfrac{2r}{3R}\left(1-\left(\dfrac{\gamma}{r}\right)^2\right)-\dfrac{\gamma}{r}\right)\sqrt{1-\left(\dfrac{\gamma}{r}\right)^2}=\arcsin \dfrac{\gamma}{r}$

Вот, собственно, все... Надо найти $\gamma$

[Gortaur]

так численно можно?

-- Ср янв 12, 2011 20:59:43 --

бублик, колбаска... а человеку еще до ужина работать и работать

[tolybas]

Gortaur
да можно, конечно. Но я ведь спрашиваю про аналитическое решение. Его-то можно получить или нет? Если нельзя, значит, нельзя. Это даже лучше в каком-то смысле, а то мне эта задача уже давно покоя не дает.

Цитата:

бублик, колбаска... а человеку еще до ужина работать и работать

Извините, что на больное надавил. Сам, кстати, тоже сижу на работе и уже давно ничего не ел

[Gortaur]

Думаю, для такого - да еще и с параметром, это попа. А так раз корень 1 - Вы его с большей точностью численно посчитаете.

[JMH]

Padawan в сообщении #398877 писал(а):

Совершенно бессмысленное действие!

Мне кажется, наличие в уравнении как $1-x^2$ так и $\arcsin x$ напрашивается на дифференциирование. Скажите, а почему бессмысленное?

[Gortaur]

Как связано дифференцирование и нахождение корней?

[JMH]

А, понял... Решение дифура никак не поможет выразить x через $\alpha$, невнимательно прочел вопрос