2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Нелинейное уравнение с арксинусом
Сообщение12.01.2011, 18:58 


11/01/11
12
Севастополь
Друзья, добрый вечер! Подскажите, пожалуйста, возможно ли в принципе решить аналитически уравнение следующего вида:
$\left(\dfrac{2}{3}\alpha\left(1-x^2\right)-x\right)\sqrt{1-x^2}=\arcsin x$,

$\alpha$ - некий вещественный коэффициент. Заменив функцией $y=\arcsin x$, пришел к дифференциальному уравнению
$\dfrac{2}{3}\alpha\left(1-x^2\right)-x=y\dfrac{dy}{dx}$,
после чего получил неполное уравнение 6-й степени. Вот у меня и возник вопрос, можно ли вообще его решить аналитически или только численно?
Спасибо

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное уравнение с арксинусом
Сообщение12.01.2011, 19:00 
Заслуженный участник


13/12/05
4584
tolybas в сообщении #398875 писал(а):
$\left(\dfrac{2}{3}\alpha\left(1-x^2\right)-x\right)\sqrt{1-x^2}=\arcsin x$,

$\alpha$ - некий вещественный коэффициент. Заменив функцией $y=\arcsin x$, пришел к дифференциальному уравнению
$\dfrac{2}{3}\alpha\left(1-x^2\right)-x=y\dfrac{dy}{dx}$,


Совершенно бессмысленное действие!

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное уравнение с арксинусом
Сообщение12.01.2011, 19:11 


26/12/08
1813
Лейден
Мне вот интересно, как у него уравнение 6ой степени потом вылезло?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное уравнение с арксинусом
Сообщение12.01.2011, 19:19 


11/01/11
12
Севастополь
Дифур решил относительно y, от него перешел обратно к арксинусу, подставил вместо арксинуса исходное уравнение, вот и получилась шестая степень.
Но с тем, что замена алгебраического уравнения дифуром бессмыслена я полностью согласен. Просто ничего более умного в голову не приходит. В правилах же написано писать по возможности свои попытки. Вот я и написал, исходя скорее из того, чтобы здесь не думали, что я хочу, чтоб мне его решили. Мне нужна только подсказка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное уравнение с арксинусом
Сообщение12.01.2011, 19:24 


26/12/08
1813
Лейден
Обязательно аналитически? посмотрели бы на графики, на то сколько корней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное уравнение с арксинусом
Сообщение12.01.2011, 19:27 


11/01/11
12
Севастополь
Это я уже делал. Корень всегда один (по крайней мере при различных альфа у меня всегда так получалось). Область определения: от [0; 1]

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное уравнение с арксинусом
Сообщение12.01.2011, 19:31 


26/12/08
1813
Лейден
откуда вообще такое? численно не подойдет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное уравнение с арксинусом
Сообщение12.01.2011, 19:54 


11/01/11
12
Севастополь
Gortaur
Представьте тор, бублик, с радиусом осевой окружности $R $ и радиусом самой "колбаски", толщиной кольца, $r$. Разрежем тор сверху цилиндром радиуса $R+\gamma$ ( или $R+r-\gamma$, я уже точно не помню, но это не принципиально) так, чтобы объемы получившихся полуколец были равны. Далее я пришел к уравнению:
$\left(\dfrac{2r}{3R}\left(1-\left(\dfrac{\gamma}{r}\right)^2\right)-\dfrac{\gamma}{r}\right)\sqrt{1-\left(\dfrac{\gamma}{r}\right)^2}=\arcsin \dfrac{\gamma}{r}$

Вот, собственно, все... Надо найти $\gamma$

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное уравнение с арксинусом
Сообщение12.01.2011, 19:58 


26/12/08
1813
Лейден
так численно можно?

-- Ср янв 12, 2011 20:59:43 --

бублик, колбаска... а человеку еще до ужина работать и работать :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное уравнение с арксинусом
Сообщение12.01.2011, 20:03 


11/01/11
12
Севастополь
Gortaur
да можно, конечно. Но я ведь спрашиваю про аналитическое решение. Его-то можно получить или нет? Если нельзя, значит, нельзя. Это даже лучше в каком-то смысле, а то мне эта задача уже давно покоя не дает.
Цитата:
бублик, колбаска... а человеку еще до ужина работать и работать

:-) Извините, что на больное надавил. Сам, кстати, тоже сижу на работе и уже давно ничего не ел :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное уравнение с арксинусом
Сообщение12.01.2011, 20:08 


26/12/08
1813
Лейден
Думаю, для такого - да еще и с параметром, это попа. А так раз корень 1 - Вы его с большей точностью численно посчитаете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное уравнение с арксинусом
Сообщение12.01.2011, 22:21 
Аватара пользователя


25/02/10
687
Padawan в сообщении #398877 писал(а):
Совершенно бессмысленное действие!

Мне кажется, наличие в уравнении как $1-x^2$ так и $\arcsin x$ напрашивается на дифференциирование. Скажите, а почему бессмысленное?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное уравнение с арксинусом
Сообщение12.01.2011, 22:50 


26/12/08
1813
Лейден
Как связано дифференцирование и нахождение корней?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное уравнение с арксинусом
Сообщение12.01.2011, 23:01 
Аватара пользователя


25/02/10
687
А, понял... Решение дифура никак не поможет выразить x через $\alpha$, невнимательно прочел вопрос :oops:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group