Есть ли в энтом Математика?

[Утундрий]

Имеются столбики

$$\[ \left( {\begin{array}{*{20}c} a \\ {a'} \\ b \\ {b'} \\ \end{array} } \right) \]$$

и шесть штук матриц

$$\[ \begin{gathered} \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & 1 & 0 & 0 \\ { - 1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} } \right),\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} } \right),\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & { - 1} & 0 \\ \end{array} } \right), \hfill \\ \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} } \right),\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \end{array} } \right),\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} } \right). \hfill \\ \end{gathered} \] $$

Помножим каждую их них на действительное число и сложим. Получится что-то шестикомпонентное, столбики преобразующее.

Далее захотелось мне столбики в такой форме записывать:

$$\[ \left( {\begin{array}{*{20}c} a \\ {a'} \\ b \\ {b'} \\ \end{array} } \right) \mapsto \left( {\begin{array}{*{20}c} {a + ia' \equiv A} \\ {b + ib' \equiv B} \\ \end{array} } \right) \] $$

и посмотреть как на них что-то шестикомпонентное действует. Например:

$$\[ \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & 1 & 0 & 0 \\ { - 1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} a \\ {a'} \\ b \\ {b'} \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} {a'} \\ { - a} \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} } \right) \mapsto \left( {\begin{array}{*{20}c} {a' - ia} \\ 0 \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} { - iA} \\ 0 \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} { - i} & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} A \\ B \\ \end{array} } \right) \] $$

То есть, в каком-то смысле

$$\[ \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & 1 & 0 & 0 \\ { - 1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} } \right) \mapsto \left( {\begin{array}{*{20}c} { - i} & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array} } \right) \] $$

Далее, захотелось чтоб и с остальными матрицами так же: чтоб целиком через $A$ да $B$ и никаких комплексных сопряжениёв!
Понятно, нужно линейно покомбинировать... и получится...

$$\[ \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & { - 1} & 0 \\ \end{array} } \right) \mapsto \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & 0 \\ 0 & { - i} \\ \end{array} } \right),\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \end{array} } \right) \mapsto \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} } \right),\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & { - 1} & 0 \\ 0 & { - 1} & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} } \right) \mapsto \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & { - i} \\ i & 0 \\ \end{array} } \right). \] $$

адын, два, тры... И та первая - всего четыре... А четыре, оно ж, меньше шести... Но иначе не получится, чтоб только через $A$ да $B$ и без сопряжениёв...

И выделилось в чем-то шестикомпонентном - нечто четырехпараметрическое.



Собственно, вопрос: это с чьей грядки такое и какими умными словами сие обозвать можно?

[paha]

я могу ошибаться, но мне кажется -- это линейная алгебра...

Комплексная структура на линейном пространстве $V$ задается линейным оператором $J:V\to V$, удовлетворяющим $J^2=-E$.

То четырехпараметрическое семейство состоит из операторов Вашего шестипараметрического семейства, согласованных с этой комплексной структурой (коммутирующих с $J$, который в Вашем случае равен

Утундрий в сообщении #398457 писал(а):

$$ \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & -1 & 0 & 0 \\ { 1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{array} } \right)$$

)

[Munin]

Группы Ли переоткрываете? Я таким тоже занимался.

[paha]

Munin в сообщении #398500 писал(а):

Группы Ли переоткрываете?

вряд ли... матрицы-то вырождены:)

[Утундрий]

paha в сообщении #398488 писал(а):

Комплексная структура на линейном пространстве

Звучит внушительно, благодарю Вас

А на кватернионы сие обобщается? А то насторожили меня эти матрицы Паули и попытался я из восэм-на-восэм похожей редукцией матрицы Дирака получить, да только что-то в волнах ничего не видно.

Munin
Да это так... шамо приползло ©
Точнее - вылезло из одной геометрической задачки.

[Bulinator]

Утундрий в сообщении #398457 писал(а):

Далее, захотелось чтоб и с остальными матрицами так же: чтоб целиком через $A$ да $B$ и никаких комплексных сопряжениёв!

А ведь это не всегда возможно. Не всегда же вещественные преобразования можно представить в комплексном виде "без сопряжениёв".

-- Ср янв 12, 2011 02:51:59 --

Может поможет:
Дубровин, Новиков, Фоменко, "Современная Геометрия", т.1 $\S$ 11-12

[Утундрий]

Bulinator в сообщении #398512 писал(а):

А ведь это не всегда возможно.

Так и я не с произвольного набора матриц начинаю.

Вот paha предложил заменить принцип "чтоб без сопряжёниев и целенькое" на "чтоб с матрицей, переходящей в единичную все коммутировало". Что интересно. Буду проверять.

[paha]

Утундрий
Вы посмотрите ссылку, которую я в первом сообщении привел -- и про комплексификацию там есть

[Munin]

Bulinator
Вроде, всё комплексное перекладывается на вещественный язык (кроме теорем :-) ), так что там и не будет никаких сопряжениев.

[Bulinator]

А откуда у Вас матрицы

Утундрий в сообщении #398457 писал(а):

$$\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \end{array} } \right),\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & { - 1} & 0 \\ 0 & { - 1} & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} } \right) $$

появились? Их же, вроде, среди шести не было.

-- Ср янв 12, 2011 03:15:05 --

Munin в сообщении #398543 писал(а):

Bulinator
Вроде, всё комплексное перекладывается на вещественный язык (кроме теорем ), так что там и не будет никаких сопряжениев.

Наоборот- из вещественного в комплексный не перекладывается.

[ИгорЪ]

Утундрий
Если вместо первой и второй двумерных матриц взять их сумму и разность, то одна из них станет единичной, а вторая с оставшимися двумя даст тройку Паули с изгажеными знаками. Ну а вместе это похоже на ккватернионы с некоторыми квадратами базисных элементов равными не -1 а 1. Не гарантирую что это действительно так, но очень похоже. Геометрически это изменение знаков в квадратичной форме которую сохраняет группа $O(3)$, т.е. эти кватернионы описывают вращения в сигнатурах $(1,-1,-1)$ и других подобных. Кстати, если взять вырожденную сигнатуру, с нулем - это будут преобразования Галилея. Хотите дам ссылки.

[paha]

Bulinator в сообщении #398544 писал(а):

появились? Их же, вроде, среди шести не было.

линейные комбинации исходных

[Утундрий]

paha, ссылка слишком сложна для моего понимания, увы.

Bulinator в сообщении #398544 писал(а):

А откуда...

Линейно накомбинировал.

ИгорЪ
Вопрос, собственно, не в том что получается, а как получается. В чем так сказать геометрический смысл этого руководящего принципа отбора (при условии, что он вообще есть).

[paha]

Кстати, посчитайте коммутаторы этих шести матриц и посмотрите какую замечательную подалгебру Ли образуют те четыре, которые Вы выделили:)

[Утундрий]

paha в сообщении #398570 писал(а):

те четыре... подалгебру Ли образуют...

а тоже ведь вариант...