2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Есть ли в энтом Математика?
Сообщение11.01.2011, 23:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Имеются столбики
$$\[
\left( {\begin{array}{*{20}c}
   a  \\
   {a'}  \\
   b  \\
   {b'}  \\

 \end{array} } \right)
\]$$
и шесть штук матриц
$$\[
\begin{gathered}
  \left( {\begin{array}{*{20}c}
   0 & 1 & 0 & 0  \\
   { - 1} & 0 & 0 & 0  \\
   0 & 0 & 0 & 0  \\
   0 & 0 & 0 & 0  \\

 \end{array} } \right),\left( {\begin{array}{*{20}c}
   0 & 0 & 0 & 0  \\
   0 & 0 & 1 & 0  \\
   0 & 1 & 0 & 0  \\
   0 & 0 & 0 & 0  \\

 \end{array} } \right),\left( {\begin{array}{*{20}c}
   0 & 0 & 0 & 0  \\
   0 & 0 & 0 & 0  \\
   0 & 0 & 0 & 1  \\
   0 & 0 & { - 1} & 0  \\

 \end{array} } \right), \hfill \\
  \left( {\begin{array}{*{20}c}
   0 & 0 & 1 & 0  \\
   0 & 0 & 0 & 0  \\
   1 & 0 & 0 & 0  \\
   0 & 0 & 0 & 0  \\

 \end{array} } \right),\left( {\begin{array}{*{20}c}
   0 & 0 & 0 & 0  \\
   0 & 0 & 0 & 1  \\
   0 & 0 & 0 & 0  \\
   0 & 1 & 0 & 0  \\

 \end{array} } \right),\left( {\begin{array}{*{20}c}
   0 & 0 & 0 & 1  \\
   0 & 0 & 0 & 0  \\
   0 & 0 & 0 & 0  \\
   1 & 0 & 0 & 0  \\

 \end{array} } \right). \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]
$$
Помножим каждую их них на действительное число и сложим. Получится что-то шестикомпонентное, столбики преобразующее.

Далее захотелось мне столбики в такой форме записывать:
$$\[
\left( {\begin{array}{*{20}c}
   a  \\
   {a'}  \\
   b  \\
   {b'}  \\

 \end{array} } \right) \mapsto \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {a + ia' \equiv A}  \\
   {b + ib' \equiv B}  \\

 \end{array} } \right)
\]
$$
и посмотреть как на них что-то шестикомпонентное действует. Например:
$$\[
\left( {\begin{array}{*{20}c}
   0 & 1 & 0 & 0  \\
   { - 1} & 0 & 0 & 0  \\
   0 & 0 & 0 & 0  \\
   0 & 0 & 0 & 0  \\

 \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
   a  \\
   {a'}  \\
   b  \\
   {b'}  \\

 \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {a'}  \\
   { - a}  \\
   0  \\
   0  \\

 \end{array} } \right) \mapsto \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {a' - ia}  \\
   0  \\

 \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   { - iA}  \\
   0  \\

 \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   { - i} & 0  \\
   0 & 0  \\

 \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
   A  \\
   B  \\

 \end{array} } \right)
\]
$$
То есть, в каком-то смысле
$$\[
\left( {\begin{array}{*{20}c}
   0 & 1 & 0 & 0  \\
   { - 1} & 0 & 0 & 0  \\
   0 & 0 & 0 & 0  \\
   0 & 0 & 0 & 0  \\

 \end{array} } \right) \mapsto \left( {\begin{array}{*{20}c}
   { - i} & 0  \\
   0 & 0  \\

 \end{array} } \right)
\]
$$
Далее, захотелось чтоб и с остальными матрицами так же: чтоб целиком через $A$ да $B$ и никаких комплексных сопряжениёв!
Понятно, нужно линейно покомбинировать... и получится...
$$\[
\left( {\begin{array}{*{20}c}
   0 & 0 & 0 & 0  \\
   0 & 0 & 0 & 0  \\
   0 & 0 & 0 & 1  \\
   0 & 0 & { - 1} & 0  \\

 \end{array} } \right) \mapsto \left( {\begin{array}{*{20}c}
   0 & 0  \\
   0 & { - i}  \\

 \end{array} } \right),\left( {\begin{array}{*{20}c}
   0 & 0 & 1 & 0  \\
   0 & 0 & 0 & 1  \\
   1 & 0 & 0 & 0  \\
   0 & 1 & 0 & 0  \\

 \end{array} } \right) \mapsto \left( {\begin{array}{*{20}c}
   0 & 1  \\
   1 & 0  \\

 \end{array} } \right),\left( {\begin{array}{*{20}c}
   0 & 0 & 0 & 1  \\
   0 & 0 & { - 1} & 0  \\
   0 & { - 1} & 0 & 0  \\
   1 & 0 & 0 & 0  \\

 \end{array} } \right) \mapsto \left( {\begin{array}{*{20}c}
   0 & { - i}  \\
   i & 0  \\

 \end{array} } \right).
\]
$$
адын, два, тры... И та первая - всего четыре... А четыре, оно ж, меньше шести... Но иначе не получится, чтоб только через $A$ да $B$ и без сопряжениёв...

И выделилось в чем-то шестикомпонентном - нечто четырехпараметрическое.



Собственно, вопрос: это с чьей грядки такое и какими умными словами сие обозвать можно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли в энтом Математика?
Сообщение12.01.2011, 00:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
я могу ошибаться, но мне кажется -- это линейная алгебра...

Комплексная структура на линейном пространстве $V$ задается линейным оператором $J:V\to V$, удовлетворяющим $J^2=-E$.

То четырехпараметрическое семейство состоит из операторов Вашего шестипараметрического семейства, согласованных с этой комплексной структурой (коммутирующих с $J$, который в Вашем случае равен
Утундрий в сообщении #398457 писал(а):
$$ \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & -1 & 0 & 0 \\ {  1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{array} } \right)$$
)

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли в энтом Математика?
Сообщение12.01.2011, 00:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Группы Ли переоткрываете? Я таким тоже занимался.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли в энтом Математика?
Сообщение12.01.2011, 00:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
Munin в сообщении #398500 писал(а):
Группы Ли переоткрываете?

вряд ли... матрицы-то вырождены:)

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли в энтом Математика?
Сообщение12.01.2011, 00:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
paha в сообщении #398488 писал(а):
Комплексная структура на линейном пространстве

Звучит внушительно, благодарю Вас :D

А на кватернионы сие обобщается? А то насторожили меня эти матрицы Паули и попытался я из восэм-на-восэм похожей редукцией матрицы Дирака получить, да только что-то в волнах ничего не видно.

Munin
Да это так... шамо приползло ©
Точнее - вылезло из одной геометрической задачки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли в энтом Математика?
Сообщение12.01.2011, 00:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
Утундрий в сообщении #398457 писал(а):
Далее, захотелось чтоб и с остальными матрицами так же: чтоб целиком через $A$ да $B$ и никаких комплексных сопряжениёв!

А ведь это не всегда возможно. Не всегда же вещественные преобразования можно представить в комплексном виде "без сопряжениёв".

-- Ср янв 12, 2011 02:51:59 --

Может поможет:
Дубровин, Новиков, Фоменко, "Современная Геометрия", т.1 $\S$ 11-12

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли в энтом Математика?
Сообщение12.01.2011, 01:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Bulinator в сообщении #398512 писал(а):
А ведь это не всегда возможно.

Так и я не с произвольного набора матриц начинаю.

Вот paha предложил заменить принцип "чтоб без сопряжёниев и целенькое" на "чтоб с матрицей, переходящей в единичную все коммутировало". Что интересно. Буду проверять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли в энтом Математика?
Сообщение12.01.2011, 01:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
Утундрий
Вы посмотрите ссылку, которую я в первом сообщении привел -- и про комплексификацию там есть

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли в энтом Математика?
Сообщение12.01.2011, 01:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Bulinator
Вроде, всё комплексное перекладывается на вещественный язык (кроме теорем :-) ), так что там и не будет никаких сопряжениев.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли в энтом Математика?
Сообщение12.01.2011, 01:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
А откуда у Вас матрицы
Утундрий в сообщении #398457 писал(а):
$$\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \end{array} } \right),\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & { - 1} & 0 \\ 0 & { - 1} & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} } \right)  $$

появились? Их же, вроде, среди шести не было.

-- Ср янв 12, 2011 03:15:05 --

Munin в сообщении #398543 писал(а):
Bulinator
Вроде, всё комплексное перекладывается на вещественный язык (кроме теорем :-) ), так что там и не будет никаких сопряжениев.

Наоборот- из вещественного в комплексный не перекладывается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли в энтом Математика?
Сообщение12.01.2011, 01:22 
Аватара пользователя


22/10/08
1286
Утундрий
Если вместо первой и второй двумерных матриц взять их сумму и разность, то одна из них станет единичной, а вторая с оставшимися двумя даст тройку Паули с изгажеными знаками. Ну а вместе это похоже на ккватернионы с некоторыми квадратами базисных элементов равными не -1 а 1. Не гарантирую что это действительно так, но очень похоже. Геометрически это изменение знаков в квадратичной форме которую сохраняет группа $O(3)$, т.е. эти кватернионы описывают вращения в сигнатурах $(1,-1,-1)$ и других подобных. Кстати, если взять вырожденную сигнатуру, с нулем - это будут преобразования Галилея. Хотите дам ссылки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли в энтом Математика?
Сообщение12.01.2011, 01:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
Bulinator в сообщении #398544 писал(а):
появились? Их же, вроде, среди шести не было.

линейные комбинации исходных

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли в энтом Математика?
Сообщение12.01.2011, 01:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
paha, ссылка слишком сложна для моего понимания, увы.

Bulinator в сообщении #398544 писал(а):
А откуда...

Линейно накомбинировал.

ИгорЪ
Вопрос, собственно, не в том что получается, а как получается. В чем так сказать геометрический смысл этого руководящего принципа отбора (при условии, что он вообще есть).

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли в энтом Математика?
Сообщение12.01.2011, 01:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
Кстати, посчитайте коммутаторы этих шести матриц и посмотрите какую замечательную подалгебру Ли образуют те четыре, которые Вы выделили:)

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли в энтом Математика?
Сообщение12.01.2011, 02:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
paha в сообщении #398570 писал(а):
те четыре... подалгебру Ли образуют...
а тоже ведь вариант...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 30 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group