Хм, то есть Вы имеет ввиду, что система которую Вы предложили сначала имеет лишь периодические решение если

лежит на окружности?
система, которую я предложил, самая исходная, до введения доп. переменной, имеет не только периодические решения, но она имеет (вероятно единственное) решение с периодом

. Обозначим его

Поскольку мы хотим чтобы система была автономной , мы вводим еще одну переменную

и еще одно диф. уравнение

. Получаем решение

. Первые две фунуции периодичны, последняя -- нет. Это если рассматривать

как элемент

. Но поскольку правая часть нашей системы периодична по

серечь по

естественно считать, что

бегает по окружности длины

. Тогда за время

точка

возвращается в исходное положение и мы получаем замкнутую траекторию.
Мораль: Неавтономная система имеет периодическое решение

. Но после "автономизации", когда появилось еще переменная

соответствующее решение будет периодичным только на

, но не в
