Нелинейное ДУ (Бендиксон)

[moscwicz]

Gortaur в сообщении #398066 писал(а):

Так... засада значит :) ну-ну, а в $R^3$ то есть нету?

вот здесь http://adsabs.harvard.edu/abs/1979SJAM...36..457R написано, что система Лоренца имеет периодическое решение. Это уже $\mathbb{R}^3$

[Gortaur]

Dan B-Yallay
к размерности пространства - я вообще имел ввиду системы уравнений первого порядка.

-- Вт янв 11, 2011 17:26:29 --

moscwicz\
У нее разве дивергенция не равна нулю в начале координат?

[moscwicz]

Gortaur в сообщении #398112 писал(а):

moscwicz\
У нее разве дивергенция не равна нулю в начале координат?

нет

[Gortaur]

Хм, то есть Вы имеет ввиду, что система которую Вы предложили сначала имеет лишь периодические решение если $t$ лежит на окружности?

[moscwicz]

Gortaur в сообщении #398122 писал(а):

Хм, то есть Вы имеет ввиду, что система которую Вы предложили сначала имеет лишь периодические решение если $t$ лежит на окружности?

система, которую я предложил, самая исходная, до введения доп. переменной, имеет не только периодические решения, но она имеет (вероятно единственное) решение с периодом $\nu$. Обозначим его $(x,y)(t),\quad y=\dot x$ Поскольку мы хотим чтобы система была автономной , мы вводим еще одну переменную $z=t$ и еще одно диф. уравнение $\dot z=1$. Получаем решение $(x,y,z)(t)=(x(t),y(t),t)$. Первые две фунуции периодичны, последняя -- нет. Это если рассматривать $(x,y,z)$ как элемент $\mathbb{R}^3$. Но поскольку правая часть нашей системы периодична по $t$ серечь по $z$ естественно считать, что $z$ бегает по окружности длины $\nu$. Тогда за время $\nu$ точка $(x(t),y(t),z(t)=t)$ возвращается в исходное положение и мы получаем замкнутую траекторию.

Мораль: Неавтономная система имеет периодическое решение $(x,y)(t),\quad y=\dot x$. Но после "автономизации", когда появилось еще переменная $z$ соответствующее решение будет периодичным только на $\mathbb{R}^2_{(x,\dot{x})}\times\mathbb{S}^1_{t}$, но не в $\mathbb{R}^3$

[Gortaur]

И дивергенция на данном многообразии так же легко считается как и в $\mathbb{R}^3$?

[moscwicz]

возьмите какую-нибудь риманову метрику на этом многообразии, будет Вам дивергенция.

-- Tue Jan 11, 2011 18:28:17 --

Но вообще-то, лучше воспользоваться в качестве примера системой Лоренца. Мой пример всетаки не хорош. Он не хорош тем, что в теореме Бенедиксона утверждается отсутствие периодических решений, стягиваемых в точку. А периодическое решение, которое у меня получилось не стягивается. Поэтому это не на размерность пример, а на другое.