Нелинейное ДУ (Бендиксон)

[Gortaur]

Нужно придумать контрпример почему теорему Бендиксона о существовании периодического решения нельзя обобщить при $n\geq 3$.
Насколько я понимаю нужно придумать систему со знакопостоянной дивиргенцией, которая тем не менее имеет хотя бы одно периодическое решение.

[moscwicz]

линейный осциллятор с периодическим по $t$ возмущением и вязким трением

[Gortaur]

Хм... а пример можно - я в физике слабоват.

[moscwicz]

$\ddot{x}=-\omega^2 x-\dot{x}+a\cos\nu t$

[ewert]

Оно ж не автономно.

[moscwicz]

ewert в сообщении #398036 писал(а):

Оно ж не автономно.

видете ли в чем дело... Вот Вам неавтономная система $\dot x=v(t,x),\quad x=(x_1,...x_n)$,
а вот Вам автономная: $\dot x=v(x_{n+1},x),\quad \dot x_{n+1}=1$ ok?

[Gortaur]

Хм, сейчас попробую, спасибо!

[ewert]

Да, я уж и сам сообразил. Но тогда я не понимаю, зачем затухание.

moscwicz в сообщении #398038 писал(а):

видете ли в чем дело...

Да, я уж и сам сообразил. Но тогда я не понимаю, зачем затухание.

[moscwicz]

за тем чтоб дивергенция была <0

[Gortaur]

И кстати какое периодическое решение (не могу сообразить раз осцилятор - значит все периодические)? Дивергенция и правда постоянно -1, спасибо.

[ИСН]

Там любое решение - это общее решение однородного уравнения (затухающая синусоида) плюс частное реш....

[Gortaur]

А, точно - оно будет че-нить с косинусом и синусом, так что период есть всегда, спасибо.

[moscwicz]

надеюсь, что топикстартер сообразил, что фазовым пространством этой системы является $\mathbb{R}^2_{(x,\dot{x})}\times\mathbb{S}^1_{t}$ и именно в этом пространстве находится замкнутая траектория

[Gortaur]

Так... засада значит :) ну-ну, а в $R^3$ то есть нету?

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

Gortaur в сообщении #398066 писал(а):

Так... засада значит :) ну-ну, а в $R^3$ то есть нету?

У Вас в в топике $n \geq 3$ относится к порядку уравнения или размерности пространства?