помогите дорешать задачи с интегралом

[PsyhologIriha1981]

Мои дорогие, помогите! Первую задачу я решила, но не уверена - правильно ли?
Может, кто проверит?
\int\int(3x^2y+4y/x^2+2x^3)dxdy=\frac {(x^5y+x^4y^2-4y^2)}{2x}+C
Вторая задача ещё проще, но я уже забыла некоторые правила:
\int_{0}^{\pi/4}{\frac {3} {cos^2 4x}dx}
Дошла до:
\int_{0}^{\pi/4}{\frac {dx} {1+cos8x}}
и всё, что дальше?

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин.

Чтобы оттуда выбраться, запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

[Toucan]

Вернул.

[Алексей К.]

По первой задачке: что-то я не могу воспринять кратный интеграл как "неопределённый интеграл". Может, кто-то и наполнит это смыслом, но мне пока не удалось. Не случилось ли так, что Вы не дописали условие, не указали область интегрирования?

Во второй надо, наверное, прикинуть график функции, или просто по виду знаменателя заподозрить --- не обращается ли он в нуль где-нть на этом отрезке? Не имеем ли мы дело с сильно несобственным интегралом? Что касается самого интегрирования, производную тангенса надо в уме держать и увидеть её здесь.

[Gortaur]

Алексей К.
В первой скорее всего имеется ввиду интеграл по прямоугольнику с переменными верхним и правым пределом - допускаете, что в каком-нибудь учебнике "Высшей математики" может быть такое обозначение?

[ewert]

(Оффтоп)

а самое любопытное -- это зачем психологу кратные интегралы

[Алексей К.]

Gortaur ,

мне приходится иногда иметь дело с интегралами ("однократными" исключительно), но не приходится --- со студентами и учебниками. Потому мне такие допущения строить сложно.

Вот теперь другая проблема, пытаюсь вообразить прямоугольник с переменным хотя бы только верхним пределом... Вот он у меня в воображении переменивается, колебается, изгибается... Ужос, только бы не приснилось. Только бы понять это до засыпания!

[Dan B-Yallay]

$[0,x]\times [0,y]$ С "двумями" сразу

[Алексей К.]

А, понял!
Мы интегрируем это дело в прямоугольнике $0\leqslant x\leqslant a$, $0\leqslant y\leqslant b$, получаем некую функцию $I=F(a,b)$, а потом устраиваем переменность конкретно $a$ и конкретно $b$. Оставляя прямоугольник прямоугольником. Даже функцию найденную переписываем потом как $F(x,y)$.
Допускаю ли я теперь такие обозначения? Как-то не хочется. Надо подумать и порешать. То, что топикстартер начала (от таких обозначений?) бездумно интегрировать и впаривать туда постоянную интегрирования... как-то нехорошо. Она не понимает, что от неё требуется, действует, пытаясь применить что-то формально заученное.
Нет, на тему уместности такой трактовки обозначения я доверюсь профессионалам, ежели они тут выскажутся. Вам, Gortaur, в частности.
Т.е. видимо, такая договорённость существует, но она прошла мимо меня. Смыслом наполнилось, и довольно легко.

[Алексей К.]

Что стоило написать какую-нибудь фулечку типа $\newsavebox{\tmpbox}\savebox{\tmpbox}{\setlength{\unitlength}{.3pt}\begin{picture}(20,11)\qbezier(0,0)(10,0)(20,0)\qbezier(0,0)(0,5)(0,10)\qbezier(20,0)(20,5)(20,10)\qbezier(0,10)(10,10)(20,10)\end{picture}} \iint\limits_{\usebox{\tmpbox}}f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\;?$

[PsyhologIriha1981]

Вы так много всего написали, столько рассуждений! Из прочитанных выражений я так ничего и не поняла, нахожусь не на том уровне развития, наверно понимаю всё конкретно. Может быть вы всёже сможете мне чем-то конкретным помочь...

[Gortaur]

Алексей К.
Нашли профессионала - я просто пару раз ходил на пару по математике к другу-экономисту + читал статьи прикладников из инженерии (они например используют ообозначение $\frac{dx}{dt} = f(x)+\xi_t$ вместо нормального и корректного $dx = f(x)dt+dB_t$). Так что уверяю Вас, выйдя за пределы матфака можно насмотреться чего угодно. Кстати, обратите внимание на то, что у ТС интеграл повторный а не двойной (меожт опечатка, а может так и надо) - так что может и не придется дорисовывать фулечки.
Если же интеграл двойной - то самое логичное предположить что т.к. ТС гуманитарий - у них математика ведется по-своему с несколько небрежными обозначениями. Фух

PsyhologIriha1981
Первая задача: напишите дословно условие, ничего не выкидывая - это важно. Кстати, если оно и правильно было написано, то у Вас при первом интегрировании должна была вылезти одна константа, при втором - вторая. В ответе у Вас только одна - непорядок.

Вторая задача.
1. проверьте, не обращается ли в ноль знаменатель на отрезке интегрирования.
2. Если не обращается - посмотрите чему равна производная тангенса (Ваш ход через двойной угол тогда не понадобится).
Достаточно конкретно?

[Aleksandrito]

Вторая задача элементарный табличный интеграл непосредственно стоит производная от тангенса:
$I=3\cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{dx}{cos^{2}(4x)}=\frac{3}{4}\cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{d(4x)}{cos^{2}(4x)}=\frac{3}{4}\cdot tg(4x)$ в пределах : $0 \div \frac{\pi }{4}$
$I=0;$

-- 15 янв 2011, 02:51 --

$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{dx}{1+cos(8x)}=\frac{1}{8}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{d(8x)}{1+cos(8x)}=tg(\frac{8x}{2})=tg(4x)$ в пределаъх от 0 до $\frac{\pi}{4}$;
$I=0;$

-- 15 янв 2011, 02:53 --

$\frac{1}{8}$ в последней задаче, в последних выражениях интеграла забыл, но это значения не имеет, так как всё равно интеграл равен нулю.

[bot]

Вас не удивило, что интеграл от положительной функции равен нулю?

(Оффтоп)

То ли топикстартер нещадно переврал обе задачи, то ли уровень преподавания такой? Впрочем чего удивляться - в некоторых задачниках вполне спокойно заставляют вычислять расходящиеся интегралы и спокойно пишут в ответе $\infty$

[Gortaur]

Насколько расходящиеся, вообще или к бесконечности-таки?