асимптотика интеграла. метод стационарной фазы

[Agathis]

дан следующий интеграл:

\[ I(y,\mu ) = \int\limits_{\xi _1^4 + \xi _2^4 + \xi _3^4 = 1} {} \int\limits_{x_1^2 + x_2^2 + \varepsilon ^2 x_3^2 = 1} {e^{i\mu {\kern 1pt} (y - x){\kern 1pt} \xi } f(x,\xi )} {\kern 1pt} {\kern 1pt} dxd\xi . \]

здесь

\[ (y - x){\kern 1pt} {\kern 1pt} \xi = \sum\limits_{j = 1}^3 {(y_j - x_j ){\kern 1pt} {\kern 1pt} \xi _j } \]

\[ \begin{gathered} \mu > 1, \hfill \\ f(x,\xi ) \in C^\infty (\mathbb{R}^3 \oplus \mathbb{R}^3 ), \hfill \\ 0 < \varepsilon < 1. \hfill \\ \end{gathered} \]

\[ \mu \to \infty \]

равномерно по y.

требуется изучить асимптотику интеграла с помощью метода стационарной фазы.

Основной вопрос состоит в том, что делать с двойным интегралом.
В литературе в основном рассматривается случай одного интеграла
по области или поверхности в \[ \mathbb{R}^n .
\]

[Brukvalub]

Рассмотрите прямое произведение множеств интегрирования по переменным$ \xi $ и х как множество в шестимерном пространстве - получится просто кратный интеграл по этому множеству. Так Вы избавитесь от двух интегралов, то есть запишите задачу одним интегралом. Правда, я не уверен, что такая запись задачу упростит- обычно делают наоборот: стараются понизить размерность, но на Ваш вопрос она дает ответ.

[Agathis]

Если бы имелся интеграл по области в n-мерном пространстве с гладкой границей или по гладкой поверхности, то можно было бы применить стандартные формулы для главного члена асимптотики. Однако, если рассмотреть прямое произведение множеств, то получится четырехпараметрическая поверхность в 6-мерном пространстве, к тому же - не гладкая. Последнее является самой большой проблемой, т.к. основной вклад в асимптотику дают точки касания поверхности интегрирования и экспоненциальной ф-и.